Каковы длины сторон треугольника, если в треугольнике АВС проведена биссектриса АД, и она равна 12,5 см? Дано, что угол

Paryaschaya_Feya

62

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства биссектрисы треугольника.

1. Сначала мы узнаем длину стороны АВ. Поскольку биссектриса АД делит угол А пополам, то у нас получается два равных треугольника - АДС и АДВ. Таким образом, можно применить теорему синусов:
\[\frac{AD}{\sin(\angle ASD)} = \frac{AS}{\sin(\angle ADS)}\]

Поскольку угол ASD равен 120 градусам, а угол ADS равен 60 градусам, получаем:
\[\frac{AD}{\sin(120^\circ)} = \frac{AS}{\sin(60^\circ)}\]

Так как сторона AS известна (она равна 20 см), мы можем выразить длину AD:
\[AD = \frac{\sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)} \cdot AS\]

Подставив значения, получим:
\[AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 20 \approx 17,32 \, \text{см}\]

Таким образом, длина стороны АВ равна 17,32 см.

2. Далее нам нужно вычислить длину стороны ВС. Для этого применяем теорему синусов в треугольнике АВС:
\[\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]

У нас известны значения углов и сторона АС:
\[\frac{AB}{\sin(120^\circ)} = \frac{20}{\sin(60^\circ)}\]

Теперь можем найти длину стороны АB:
\[AB = \frac{\sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)} \cdot 20\]

Подставляем значения и получаем:
\[AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 20 \approx 17,32 \, \text{см}\]

Таким образом, длина стороны АB также равна 17,32 см.

3. Поскольку мы знаем стороны АВ и АС, и мы можем найти длину стороны ВС, применяя теорему Пифагора:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]

Подставляя значения, получаем:
\[BC^2 = 17,32^2 + 20^2\]

Выполняем вычисления:
\[BC = \sqrt{17,32^2 + 20^2} \approx 26,64 \, \text{см}\]

Таким образом, длина стороны ВС составляет примерно 26,64 см.

Итак, в итоге мы получаем, что длины сторон треугольника АВС равны:
AB ≈ 17,32 см,
BC ≈ 26,64 см,
AC = 20 см.

Обратите внимание, что полученные значения округлены до двух десятичных знаков.