Каковы координаты экстремумов функции y=3x−6cosx в интервале x∈[−π/2;π] и какой характер у этих экстремумов? Ответ

Паровоз

56

Чтобы найти экстремумы функции \(y = 3x - 6\cos(x)\) в интервале \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\) и определить их характер, мы будем использовать производные функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого возьмем производную членов функции по отдельности:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (3x) - \frac{d}{dx} (6\cos(x))
\]

Дифференцируя каждое слагаемое по отдельности, получим:

\[
\frac{dy}{dx} = 3 - (-6\sin(x)) = 3 + 6\sin(x)
\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю, или точки, в которых производная не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
3 + 6\sin(x) = 0
\]

Вычтем 3 из обеих частей уравнения и поделим на 6:

\[
\sin(x) = -\frac{1}{2}
\]

Шаг 3: Найдем значения \(x\), соответствующие этому уравнению. Для этого воспользуемся таблицей значений синуса. Заметим, что значениями синуса, равными \(-\frac{1}{2}\), являются \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{5\pi}{6}\).

Шаг 4: Теперь, найдя точки, в которых производная равна нулю, нам нужно определить характер экстремумов. Для этого рассмотрим вторую производную функции \(y\):

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3 + 6\sin(x)) = 6\cos(x)
\]

Шаг 5: Подставим найденные значения \(x\) во вторую производную и определим знаки каждого значения:

\[
\frac{d^2y}{dx^2} \bigg|_{x = -\frac{\pi}{6}} = 6\cos\bigg(-\frac{\pi}{6}\bigg) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} > 0
\]

\[
\frac{d^2y}{dx^2} \bigg|_{x = -\frac{5\pi}{6}} = 6\cos\bigg(-\frac{5\pi}{6}\bigg) = 6 \cdot \frac{-\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3} < 0
\]

Шаг 6: Когда вторая производная положительна, это указывает на минимум функции, а когда она отрицательна, это указывает на максимум функции.

Итак, получаем, что функция \(y = 3x - 6\cos(x)\) имеет два экстремума в интервале \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\). Эти экстремумы находятся при \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{5\pi}{6}\). При \(x = -\frac{\pi}{6}\) функция имеет минимум, а при \(x = -\frac{5\pi}{6}\) функция имеет максимум.

Мы определили экстремумы функции и их характер в градусах.