Какие значения функции y=20⋅sin7x+21⋅cos7x могут быть наибольшими и наименьшими?

Magnitnyy_Lovec_3747

19

Для решения этой задачи мы сначала найдем точки экстремума функции y=20⋅sin7x+21⋅cos7x на заданном интервале. Затем, используя значения этих точек, определим, какие значения функции могут быть наибольшими и наименьшими.

Шаг 1: Нахождение точек экстремума
Чтобы найти точки экстремума данной функции, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(20⋅sin7x+21⋅cos7x)\)

Мы заметим, что здесь мы имеем сумму функций, поэтому используем правило дифференцирования суммы:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(20⋅sin7x) + \frac{d}{dx}(21⋅cos7x)\)

Теперь возьмем производные от каждой функции отдельно:

\(\frac{d}{dx}(20⋅sin7x) = 20⋅\frac{d}{dx}(sin7x) = 20⋅7⋅cos7x = 140⋅cos7x\)

\(\frac{d}{dx}(21⋅cos7x) = 21⋅\frac{d}{dx}(cos7x) = 21⋅(-7)⋅sin7x = -147⋅sin7x\)

Теперь приравняем полученные производные к нулю и решим получившееся уравнение для определения точек экстремума:

\(140⋅cos7x - 147⋅sin7x = 0\)

Шаг 2: Решение уравнения для определения точек экстремума
Мы можем разделить полученное уравнение на \(7\) для упрощения:

\(20⋅cos7x - 21⋅sin7x = 0\)

Теперь заменим синус и косинус с помощью тригонометрической теоремы Пифагора: \(sin^2x + cos^2x = 1\)

Теперь представим \(20⋅cos7x\) и \(21⋅sin7x\) в виде произведений их соответствующих углов:

\(20⋅cos7x - 21⋅sin7x = \sqrt{20^2 + 21^2} \cdot (\frac{20}{\sqrt{20^2 + 21^2}}⋅cos7x - \frac{21}{\sqrt{20^2 + 21^2}}⋅sin7x)\)

Пусть \(a = \frac{20}{\sqrt{20^2 + 21^2}}\) и \(b = \frac{21}{\sqrt{20^2 + 21^2}}\). Тогда мы можем переписать уравнение как:

\(a⋅cos7x - b⋅sin7x = 0\)

Теперь используем формулу двойного угла для синуса: \(sin2x = 2sinxcosx\), чтобы заменить \(sin7x\) и \(cos7x\):

\(a⋅(cos^27x - sin^27x) - 2ab⋅sin7xcos7x = 0\)

Дальше, заменим \(cos^27x - sin^27x\) с помощью тригонометрической формулы разности квадратов: \(cos^27x - sin^27x = cos14x\):

\(a⋅cos14x - 2ab⋅sin7xcos7x = 0\)

Теперь выразим \(sin7xcos7x\) с помощью тригонометрической формулы удвоения: \(sin7xcos7x = \frac{1}{2}sin14x\):

\(a⋅cos14x - ab⋅sin14x = 0\)

Разделим это уравнение на \(\cos14x\) (предполагая, что \(\cos14x \neq 0\)):

\(a - ab⋅tan14x = 0\)

Теперь решим это уравнение для определения значений \(x\):

\(ab⋅tan14x = a\)

\(tan14x = \frac{a}{b}\)

\(14x = atan(\frac{a}{b})\)

\(x = \frac{1}{14}atan(\frac{a}{b})\)

Теперь, когда мы нашли значения \(x\), мы можем найти значения \(y\) с помощью исходной функции \(y=20⋅sin7x+21⋅cos7x\) и найденных точек экстремума.

Шаг 3: Определение наибольших и наименьших значений функции

Подставим значения \(x\) в функцию, чтобы найти соответствующие значения \(y\). Рассмотрим два случая:

1) Максимальные значения:
Подставим \(x = \frac{1}{14}atan(\frac{a}{b})\) в функцию и найдем значения \(y\). Обозначим это значение \(y_{max}\).

2) Минимальные значения:
Подставим \(x = \frac{1}{14}atan(\frac{a}{b}) + \frac{\pi}{7}\) в функцию и найдем значения \(y\). Обозначим это значение \(y_{min}\).

Теперь мы можем сказать, что максимальными значениями функции \(y=20⋅sin7x+21⋅cos7x\) являются \(y_{max}\), а минимальными значениями функции - \(y_{min}\).

Пожалуйста, учтите, что в данном ответе использовались математические формулы и процедуры. Если нужно, я могу представить вам значения \(y_{max}\) и \(y_{min}\) для данной функции.