Каковы координаты точек А (10;-6;4), В (14;-4;5), С (17;-8;1), и Д (16;-14;-4)? Докажите, что четырехугольник АВСД

Светлана_7151

48

Для начала, давайте построим точки А, В, С и Д в трехмерной системе координат. Зная, что координаты точки задаются в виде (x;y;z), мы можем расположить эти точки на координатной плоскости.

Точка А имеет координаты (10;-6;4). Поэтому, начиная с начала координат, мы двигаемся вправо на 10 единиц по оси x, затем двигаемся влево на 6 единиц по оси y и перемещаемся вперед на 4 единицы по оси z. Мы ставим маркер в полученной позиции.

Точка В имеет координаты (14;-4;5). Поэтому, начиная с начала координат, мы двигаемся вправо на 14 единиц по оси x, затем двигаемся влево на 4 единицы по оси y и перемещаемся вперед на 5 единиц по оси z. Снова мы ставим маркер в полученной позиции.

Точка С имеет координаты (17;-8;1). Поэтому, начиная с начала координат, мы двигаемся вправо на 17 единиц по оси x, затем двигаемся влево на 8 единиц по оси y и перемещаемся вперед на 1 единицу по оси z. Мы ставим еще один маркер в полученной позиции.

Точка Д имеет координаты (16;-14;-4). Поэтому, начиная с начала координат, мы двигаемся вправо на 16 единиц по оси x, затем двигаемся влево на 14 единицы по оси y и перемещаемся назад на 4 единицы по оси z. Мы ставим последний маркер в полученной позиции.

Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник АВСД является прямоугольной трапецией, нам нужно проверить несколько условий.

1. Стороны AB и CD параллельны.
Для этого мы можем вычислить векторное произведение векторов AB и CD. Если результат равен нулевому вектору, это означает, что векторы параллельны.

Вектор AB = (14-10;-4-(-6);5-4) = (4;2;1)
Вектор CD = (16-17;-14-(-8);-4-1) = (-1;-6;-5)

Вычисляем векторное произведение:
AB x CD = (2*(-5)-1*(-6); 1*(-1)-2*(-5); 4*(-6)-2*(-1)) = (-4;9;-22)

Так как получили ненулевой вектор, стороны AB и CD не являются параллельными.

2. Стороны AD и BC параллельны.
Для этого также вычислим векторное произведение векторов AD и BC.

Вектор AD = (16-10;-14-(-6);-4-4) = (6;-8;-8)
Вектор BC = (17-14;-8-(-4);1-5) = (3;-4;-4)

Вычисляем векторное произведение:
AD x BC = ((-8)*(-4)-(-8)*(-4); (-8)*3-(-4)*(-8); 6*(-4) - (-8)*(-4)) = (0;0;0)

Так как получили нулевой вектор, стороны AD и BC параллельны.

3. Углы между сторонами AB и AD, а также BC и CD прямые (перпендикулярные).

Для этого мы можем вычислить скалярное произведение векторов AB и AD, а затем скалярное произведение векторов BC и CD. Если результаты равны нулю, это означает, что углы являются прямыми.

AB • AD = (4*6) + (2*(-8)) + (1*(-8)) = 24 - 16 - 8 = 0
BC • CD = (3*(-1)) + ((-4)*(-6)) + ((-4)*(-5)) = -3 + 24 + 20 = 41

Так как AB • AD равно нулю, а BC • CD не равно нулю, углы между сторонами AB и AD, а также BC и CD не являются прямыми.

Итак, основываясь на наших вычислениях, мы можем сделать вывод, что четырехугольник АВСД не является прямоугольной трапецией. Как видим, стороны AB и CD не параллельны, а углы между сторонами AB и AD, а также BC и CD не являются прямыми.