Каковы координаты точек экстремума функции y=2x^2-4x+3 и помогите построить график данной функции?

Taras

38

Хорошо, давайте начнем с нахождения координат точек экстремума функции \(y=2x^2-4x+3\).

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y\) по \(x\).
Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(3)\]

Упростив это, получим:
\[\frac{dy}{dx} = 4x - 4\]

Шаг 2: Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 4x - 4\) для нахождения точек, в которых производная равна нулю.
\[\frac{dy}{dx} = 0\]
\[4x - 4 = 0\]

Решая это уравнение, получим:
\[4x = 4\]
\[x = 1\]

Таким образом, у нас есть точка экстремума при \(x = 1\).

Шаг 3: Найдем значение функции \(y\) в точке экстремума, подставив \(x = 1\) в исходную функцию.
\[y = 2(1)^2 - 4(1) + 3\]
\[y = 2 - 4 + 3\]
\[y = 1\]

Таким образом, координаты точки экстремума функции \(y=2x^2-4x+3\) равны \((1, 1)\).

Теперь давайте построим график данной функции.

Шаг 4: Построение графика.

Для построения графика функции \(y=2x^2-4x+3\) мы будем использовать координатную систему.

Давайте построим таблицу значений, выбрав несколько значений \(x\) и вычислив соответствующие значения \(y\):

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 15 \\
\hline
-1 & 9 \\
\hline
0 & 3 \\
\hline
1 & 1 \\
\hline
2 & 3 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь нарисуем координатную плоскость и отметим найденные точки. Используем эти точки для построения графика, а затем соединим их гладкой кривой линией.

(Вставьте изображение графика функции здесь, или обясните как нарисовать график.)

Таким образом, мы получили график функции \(y=2x^2-4x+3\), который проходит через точки экстремума \((1,1)\) и имеет форму параболы, открывающейся вверх.

Надеюсь, это объяснение и решение помогли вам лучше понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.