Каковы координаты векторов между точками A(2; -1) и C(3; 2), а также между точками A(2; -1) и D(-3; 1)? Каковы модули

Leha

25

Рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Найдем координаты вектора между точками A(2; -1) и C(3; 2):

Для этого мы вычисляем разность координат второй точки и первой точки:

\(\vec{AC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (3 - 2, 2 - (-1)) = (1, 3)\)

Таким образом, координаты вектора \(\vec{AC}\) между точками A и C равны (1, 3).

2. Найдем координаты вектора между точками A(2; -1) и D(-3; 1):

Аналогично, найдем разность координат второй точки и первой точки:

\(\vec{AD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-3 - 2, 1 - (-1)) = (-5, 2)\)

Координаты вектора \(\vec{AD}\) между точками A и D равны (-5, 2).

3. Найдем модули (длины) этих векторов:

Модуль вектора \(\vec{AC}\) вычисляется по формуле:

\(|\vec{AC}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)

где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - разность координат по осям X и Y соответственно.

Для \(\vec{AC}\):

\(|\vec{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16\)

Модуль вектора \(\vec{AD}\) можно вычислить по аналогичной формуле:

\(|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.39\)

Таким образом, модуль вектора \(\vec{AC}\) примерно равен 3.16, а модуль вектора \(\vec{AD}\) примерно равен 5.39.

4. Найдем координаты вектора EF, если \(\vec{EF} = 3\vec{AC} - 2\vec{AD}\):

Для этого мы вычисляем каждую компоненту вектора по отдельности и объединяем их:

\(\vec{EF} = (3\cdot1 - 2\cdot(-5), 3\cdot3 - 2\cdot2) = (11, 5)\)

Таким образом, координаты вектора \(\vec{EF}\) равны (11, 5).

5. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\(\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2)\)

Для \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

\(\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (1 \cdot -5) + (3 \cdot 2) = -5 + 6 = 1\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\) равно 1.

6. Найдем косинус угла между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|}\)

Для \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):

\(\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \approx 0.10\)

Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\) примерно равен 0.10.