Каковы координаты вершины D параллелограмма ABCD, если известно, что A(3;8;-2); B(-4;5;-1); C(2;-1;1)?

Murka

59

Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, нам потребуется знать свойства параллелограмма. Одно из таких свойств гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и взаимно продолжают друг друга.

Для начала найдём середину отрезка AB и обозначим её точкой M. Для этого нужно найти среднее арифметическое x-координат, y-координат и z-координат точек A и B.

\[ M\left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}, \frac{{z_A + z_B}}{2}\right)\]
\[ M\left(\frac{{3 + (-4)}}{2}, \frac{{8 + 5}}{2}, \frac{{-2 + (-1)}}{2}\right)\]
\[ M\left(\frac{{-1}}{2}, \frac{{13}}{2}, \frac{{-3}}{2}\right)\]
\[ M\left(-\frac{1}{2}, \frac{13}{2}, -\frac{3}{2}\right)\]

Таким образом, координаты средней точки M равны \((-1/2, 13/2, -3/2)\).

Затем найдём середину отрезка CD и обозначим её точкой N, используя аналогичную формулу.

\[ N\left(\frac{{x_C + x_D}}{2}, \frac{{y_C + y_D}}{2}, \frac{{z_C + z_D}}{2}\right)\]

Так как положение точки D относительно точки C неизвестно, обозначим новые неизвестные координаты для точки D: \(D(x_D, y_D, z_D)\).

\[ N\left(\frac{{2 + x_D}}{2}, \frac{{-1 + y_D}}{2}, \frac{{1 + z_D}}{2}\right)\]

Также мы знаем, что точка N совпадает с точкой M, поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам.

\[ N(-1/2, 13/2, -3/2)\]

Составим уравнения:

\[ \frac{{2 + x_D}}{2} = -\frac12 \]
\[ \frac{{-1 + y_D}}{2} = \frac{13}{2} \]
\[ \frac{{1 + z_D}}{2} = -\frac32 \]

Продолжим решать уравнения:

\[ 2 + x_D = -1 \]
\[ -1 + y_D = 13 \]
\[ 1 + z_D = -3 \]

Отсюда получаем:

\[ x_D = -3 \]
\[ y_D = 14 \]
\[ z_D = -4 \]

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны \((-3, 14, -4)\).