Каковы координаты вершины параболы? В каких интервалах функция возрастает и убывает? На каких интервалах функция

Петрович

52

Чтобы найти координаты вершины параболы, мы можем воспользоваться формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Наша задача состоит в том, чтобы определить координаты вершины параболы, представленной в виде уравнения \(f(x) = ax^2 + bx + c\). В данном случае, нам нужно определить координаты вершины для данной параболы без указания конкретного уравнения.

Координаты вершины параболы имеют вид \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса вершины, а \(k\) - это ордината вершины.

Для определения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем использовать метод сравнения точек. Для этого нам нужно иметь хотя бы три точки данных параболы. Давайте обозначим их как \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) и \((x_3, y_3)\).

Шаг 1: Вычислите разности \(x\) и \(y\) для каждой пары точек:
\(\Delta x_1 = x_2 - x_1\), \(\Delta x_2 = x_3 - x_2\)
\(\Delta y_1 = y_2 - y_1\), \(\Delta y_2 = y_3 - y_2\)

Шаг 2: Вычислите разности \(\Delta y\) для каждой пары разностей \(y\):
\(\Delta^2 y_1 = \Delta y_2 - \Delta y_1\)

Шаг 3: Вычислите отношения \(\frac{{\Delta^2 y}}{{\Delta x}}\) для каждой пары разностей \(x\) и разностей \(y\):
\(\frac{{\Delta^2 y_1}}{{\Delta x_1}}\) и \(\frac{{\Delta^2 y_2}}{{\Delta x_2}}\)

Шаг 4: Вычислите дополнительную разность для значения \(x\):
\(\Delta^3 x = \Delta x_2 - \Delta x_1\)

Шаг 5: Вычислите значение коэффициента \(a\) через формулу:
\(a = \frac{{\Delta^2 y_1}}{{\Delta x_1 \cdot \Delta x_2}}\)

Шаг 6: Вычислите значение коэффициента \(b\) через формулу:
\(b = \frac{{\Delta^3 x \cdot \Delta y_1}}{{\Delta x_1 \cdot \Delta x_2}}\)

Шаг 7: Вычислите значение коэффициента \(c\) через формулу:
\(c = y_1 - (a \cdot x_1^2 + b \cdot x_1)\)

Итак, мы получили уравнение параболы \(f(x) = ax^2 + bx + c\) с определенными коэффициентами \(a\), \(b\) и \(c\). Теперь мы можем приступить к нахождению координаты вершины параболы.

Шаг 8: Найдите абсциссу вершины параболы \(h\) используя формулу:
\(h = -\frac{b}{2a}\)

Шаг 9: Найдите ординату вершины параболы \(k\) подстановкой найденного \(h\) в уравнение параболы:
\(k = f(h)\)

Теперь мы знаем координаты вершины параболы, \((h, k)\).

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы должны анализировать знак коэффициента \(a\) параболы. Если \(a > 0\), это означает, что парабола открывается вверх и функция возрастает на всей оси \(x\). Если \(a < 0\), парабола открывается вниз и функция убывает на всей оси \(x\).

Чтобы определить интервалы, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, мы должны проанализировать знаки функции \(f(x)\) в различных интервалах. Если \(f(x)\) положительна, она принимает положительные значения, и если \(f(x)\) отрицательна, она принимает отрицательные значения.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции, мы можем анализировать коэффициент \(a\). Если \(a > 0\), то наименьшее значение функции будет находиться в вершине параболы, и наибольшее значение будет неограниченно увеличиваться по мере увеличения \(x\). Если \(a < 0\), наибольшее значение будет в вершине параболы, а наименьшее значение будет неограниченно убывать по мере увеличения \(x\).

Надеюсь, что эта подробная информация позволяет вам лучше понять координаты вершины параболы, интервалы возрастания и убывания, интервалы положительных и отрицательных значений функции, а также наименьшее и наибольшее значение функции. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их.