Як довести, що точки A(3; 7), B(-1; 3), C(-7; ) D(-3; 8) утворюють паралелограм ABCD? Як довести, що вершини

Матвей

2

Для доказательства, что точки A(3; 7), B(-1; 3), C(-7; ) D(-3; 8) образуют параллелограмм ABCD, мы должны показать, что противоположные стороны параллельны и равны между собой.

Шаг 1: Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) при помощи координат данных точек. Для этого, вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1 - 3, 3 - 7) = (-4, -4)
\]

Вектор \(\overrightarrow{CD}\):
\[
\overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-3 - (-7), 8 - \textit{у}) = (4, 8 - \textit{у})
\]

Шаг 2: Найдем векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) при помощи тех же координатных точек.

Вектор \(\overrightarrow{BC}\):
\[
\overrightarrow{BC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-7 - (-1), \textit{у} - 3) = (-6, \textit{у} - 3)
\]

Вектор \(\overrightarrow{AD}\):
\[
\overrightarrow{AD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (3 - (-3), 7 - 8) = (6, -1)
\]

Шаг 3: Проверим, равны ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) с \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) с \(\overrightarrow{AD}\). Для этого сравним их координаты.

Координатное сравнение векторов:
\[
\begin{cases}
-4 = 4 \\
-4 = 8 - \textit{у} \\
-6 = 6 \\
\textit{у} - 3 = -1 \\
\end{cases}
\]

Из первого и третьего уравнений мы видим, что \( -4 = 4 \) и \( -6 = 6 \), что является неверным утверждением для любого значения. Таким образом, стороны AB и CD не являются параллельными.

Из второго и четвертого уравнений мы видим, что \( -4 = 8 - \textit{у} \), а \( -4 \neq 7 \). Это также является неверным утверждением для любого значения. Следовательно, стороны BC и AD не являются параллельными.

Таким образом, мы установили, что точки A(3; 7), B(-1; 3), C(-7; ) D(-3; 8) не образуют параллелограмм ABCD.

Чтобы доказать, что середины сторон четырехугольника ABCD образуют параллелограмм, нам нужно показать, что диагонали этого четырехугольника разделяются пополам и пересекаются в точке, которая также делит их пополам.

Предположим, что точки E, F, G и H являются серединами сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Шаг 1: Найдем координаты серединных точек.

Точка E:
Для нахождения середины стороны AB, мы должны взять среднее значение x-координаты A и B, и среднее значение y-координаты A и B.

Координаты точки E:
\[
\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{7 + 3}{2}\right) = (1, 5)
\]

Точка F:
Для нахождения середины стороны BC:
\[
\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{(-1) + (-7)}{2}, \frac{3 + \textit{у}}{2}\right) = (-4, \frac{3 + \textit{у}}{2})
\]

Точка G:
Для нахождения середины стороны CD:
\[
\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) = \left(\frac{(-7) + (-3)}{2}, \frac{\textit{у} + 8}{2}\right) = (-5, \frac{\textit{у} + 8}{2})
\]

Точка H:
Для нахождения середины стороны AD:
\[
\left(\frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-3)}{2}, \frac{7 + 8}{2}\right) = (0, \frac{15}{2})
\]

Шаг 2: Проверим, являются ли диагонали EG и FH параллельными, а также равными между собой.

Для этого вычислим векторы \(\overrightarrow{EG}\) и \(\overrightarrow{FH}\).

Вектор \(\overrightarrow{EG}\):
\[
\overrightarrow{EG} = (x_G - x_E, y_G - y_E) = (-5 - 1, \frac{\textit{у} + 8}{2} - 5) = (-6, \frac{\textit{у} - 2}{2})
\]

Вектор \(\overrightarrow{FH}\):
\[
\overrightarrow{FH} = (x_H - x_F, y_H - y_F) = (0 - (-4), \frac{15}{2} - \frac{3 + \textit{у}}{2}) = (4, \frac{12 - \textit{у}}{2})
\]

Шаг 3: Сравним координаты векторов, чтобы проверить их равенство и параллельность.

Координатное сравнение векторов:
\[
\begin{cases}
-6 = 4 \\
\frac{\textit{у} - 2}{2} = \frac{12 - \textit{у}}{2}
\end{cases}
\]

Из первого уравнения видим, что \(-6 \neq 4\), что делает их непараллельными.

Из второго уравнения получаем:
\[
\frac{\textit{у} - 2}{2} = \frac{12 - \textit{у}}{2}
\]

Упростим это уравнение:
\[
\textit{у} - 2 = 12 - \textit{у}
\]

Решим его:
\[
2\textit{у} = 14
\]
\[
\textit{у} = 7
\]

Таким образом, диагонали EG и FH равны между собой и пересекаются в середине. По определению, это означает, что вершины четырехугольника ABCD, которые являются серединами сторон, образуют параллелограмм.