Каковы объемы двух треугольных пирамид, полученных после того, как из треугольной пирамиды с объемом 126 отсекается

Inna

55

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам дана треугольная пирамида с объемом 126 и нам нужно найти объемы двух пирамид, полученных после отсечения плоскостью через вершину пирамиды и медиану основания.

2. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для объема пирамиды. Формула объема пирамиды выглядит следующим образом: \[V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h\], где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{основания}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

3. Поскольку нам даны треугольные пирамиды, основаниями которых являются треугольники, нам понадобятся формулы для площади треугольника и высоты треугольной пирамиды.

4. Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\], где \(S\) - площадь треугольника, \(a, b, c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, который можно вычислить как \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

5. Высоту треугольной пирамиды можно найти с использованием теоремы Пифагора. Пусть \(h\) - высота пирамиды, \(l\) - длина медианы основания пирамиды (которая равна половине длины основания треугольника), \(s\) - длина боковой грани пирамиды. Тогда по теореме Пифагора получаем: \(s^2 = h^2 + l^2\).

6. В нашей задаче, плоскость проходит через вершину пирамиды и медиану основания. Это означает, что одна из боковых граней отсекается, а две другие боковые грани пирамиды становятся боковыми гранями новой пирамиды. Таким образом, другая треугольная пирамида будет иметь те же боковые грани, но сократится в объеме.

7. Используя найденные формулы для объема треугольной пирамиды, площади треугольника и высоты треугольной пирамиды, мы можем рассчитать искомые объемы.

8. Первый шаг - найти длину медианы основания. Половина длины основания равна половине периметра треугольника, умноженному на корень из трех: \(l = \frac{1}{2} \times (a + b + c) \times \sqrt{3}\).

9. Второй шаг - найти высоту треугольной пирамиды. Используя теорему Пифагора, мы можем записать: \(h^2 = s^2 - l^2\).

10. Третий шаг - найти площадь основания треугольной пирамиды. Мы можем использовать формулу Герона: \[S_{основания} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\].

11. Четвертый шаг - найти объем первой пирамиды. Подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема пирамиды: \[V_1 = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h_1\].

12. Пятый шаг - найти объем второй пирамиды. Поскольку эта пирамида получена от первой путем отсечения, ее объем будет равен разнице объемов первой и отсеченной пирамид: \[V_2 = V_1 - 126\].

Таким образом, для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы для площади треугольника, высоты треугольной пирамиды и объема пирамиды. Решение задачи будет состоять из пошаговых вычислений этих величин. Вычисление проще всего выполнить, используя предоставленные значения и дополнительные формулы.