Каковы площадь и периметр вравнобедренного треугольника ABC, в котором длина основания AB равна корню из 3, а угол

Витальевна

42

Для решения этой задачи воспользуемся некоторыми свойствами равнобедренных треугольников.
Введем обозначения: пусть AB - основание равнобедренного треугольника ABC, AC и BC - равные боковые стороны, и угол при основании AB равен 30 градусам.

1. Найдем длину боковой стороны AC:
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Поскольку угол при основании равен 30 градусам, то угол противолежащий этой стороне также равен 30 градусам. Таким образом, треугольник ACB является прямоугольным, и мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями.
Обозначим длину боковой стороны AC как x. Тогда по теореме синусов имеем:
\(\frac{x}{\sin{30^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin{90^\circ}}\)
\(\frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(x = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}\)

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то сторона BC также равна \(2\sqrt{3}\).

3. Найдем площадь треугольника ABC:
Площадь треугольника можно найти, используя формулу:
\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot H\), где AB - основание треугольника, H - высота, опущенная на это основание.
Так как ABC - равнобедренный треугольник, то H - высота, проведенная из вершины треугольника на основание AB, будет равна медиане, и она будет перпендикулярна к AB. Поэтому треугольник ABH будет прямоугольным.
Медиана разбивает основание пополам, поэтому HB = \(\frac{1}{2} \cdot AB\), а так как длина основания AB равна \(\sqrt{3}\), то HB = \(\frac{1}{2} \cdot\sqrt{3}\).
Теперь, зная длину основания AB и высоту BH, можем найти площадь треугольника ABC:
\(S = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot\sqrt{3} = \frac{3}{4}\).

4. Найдем периметр треугольника ABC:
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В нашем случае стороны AB, AC и BC имеют длину \(\sqrt{3}\), \(2\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{3}\) соответственно.
Периметр треугольника ABC равен: \(P = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

Итак, площадь треугольника ABC равна \(\frac{3}{4}\), а периметр равен \(5\sqrt{3}\).