Каковы площадь поверхности и объем четырехугольной пирамиды МАВСД, у которой сторона основания равна 4 см и апофема

Letuchiy_Fotograf

47

Хорошо! Для начала нарисуем четырехугольную пирамиду МАВСД с заданными параметрами.

\[ Рисунок ]

Теперь давайте найдем площадь поверхности этой пирамиды. Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площадей боковых граней.

1. Площадь основания. У нас дано, что сторона основания равна 4 см. Четырехугольник МАВС - это основание нашей пирамиды. Поскольку четырехугольник - это прямоугольник, его площадь можно найти по формуле:

\[ Площадь_{основания} = Длина \times Ширина \]

В данном случае, поскольку это квадрат, сторона равна 4 см и ширина равна длине, получаем:

\[ Площадь_{основания} = 4 \times 4 = 16 \, см^2 \]

2. Площадь боковой грани. У нас также дано, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Апофема - это высота треугольника МАВ. Для нахождения площади боковых граней пирамиды, нам нужно найти площадь треугольника МАВ. Так как у нас дано только одно ребро треугольника и угол между этим ребром и апофемой, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника по одной стороне и прилегающему ей углу:

\[ Площадь_{боковой \, грани} = \frac{1}{2} \times сторона \times апофема \]

Угол между стороной и апофемой равен 60 градусов, а сторона равна 4 см:

\[ Площадь_{боковой \, грани} = \frac{1}{2} \times 4 \times апофема \]

Мы знаем, что апофема - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 см и половиной стороны основания (2 см). По теореме Пифагора:

\[ апофема = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \, см \]

Теперь мы можем вычислить площадь боковой грани:

\[ Площадь_{боковой \, грани} = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{20} = 2 \times \sqrt{20} \, см^2 \]

3. Общая площадь поверхности. Для нахождения общей площади поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и площади боковых граней:

\[ Площадь_{поверхности} = Площадь_{основания} + 4 \times Площадь_{боковой \, грани} = 16 + 8 \times \sqrt{20} \, см^2 \]

Теперь перейдем к нахождению объема пирамиды. Объем четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

\[ Объем = \frac{1}{3} \times Площадь_{основания} \times Высота \]

Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В нашем случае это треугольник МАВ, у которого сторона равна 4 см, а апофема равна \(\sqrt{20}\) см. По теореме Пифагора:

\[ Высота = \sqrt{\sqrt{20}^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \, см \]

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

\[ Объем = \frac{1}{3} \times 16 \times 4 = \frac{64}{3} \, см^3 \]

Итак, площадь поверхности четырехугольной пирамиды МАВСД составляет \(16 + 8 \times \sqrt{20} \, см^2\), а объем составляет \(\frac{64}{3} \, см^3\).