Каковы производные следующих функций по формулам и правилам дифференцирования? а) 5/х-х 3+корень из х

Летучий_Волк

49

Хорошо! Производные данных функций по формулам и правилам дифференцирования:

а) Функция: \(f(x) = \frac{5}{x} - x^3 + \sqrt{x} + 3\)

Для вычисления производной данной функции, нам понадобятся правила дифференцирования и формулы. Давайте пошагово вычислим каждое слагаемое функции и применим соответствующие правила.

1. Сначала рассмотрим слагаемое \(\frac{5}{x}\). Для вычисления его производной, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для функции, обратной к \(x^n\), где \(n\) - целое число:

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{{x^2}}\)

Умножим полученный результат на константу 5:

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{5}{x} \right) = 5 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{5}{x^2}\)

2. Перейдем к слагаемому \(-x^3\). Для вычисления его производной применим правило дифференцирования для функции \(x^n\), где \(n\) - целое число:

\(\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1}\)

Применяя это правило, получим:

\(\frac{d}{dx} \left( -x^3 \right) = -3x^{3-1} = -3x^2\)

3. Слагаемое \(\sqrt{x}\) - это корень квадратный из \(x\). Для вычисления его производной, воспользуемся формулой дифференцирования для функции \(\sqrt{x}\):

\(\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Применим данную формулу:

\(\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

4. Последнее слагаемое 3 считается константой, и производная константы равна нулю:

\(\frac{d}{dx} \left( 3 \right) = 0\)

Теперь сложим все полученные производные:

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{5}{x} - x^3 + \sqrt{x} + 3 \right) = -\frac{5}{x^2} - 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0\)

b) Функция: \(f(x) = (x^2 - 3x - 2)\sqrt{x}\)

Воспользуемся правилом производной произведения функций для вычисления производной данной функции.

Применим это правило по шагам:

1. Разобьем функцию на две составляющие, умножаемые между собой: \(f(x) = (x^2 - 3x - 2) \cdot \sqrt{x}\).

2. Производная первой функции \((x^2 - 3x - 2)\) рассчитывается, используя правило дифференцирования для функции \(x^n\):

\(\frac{d}{dx} \left( x^2 - 3x - 2 \right) = 2x - 3\)

3. Производная второй функции \(\sqrt{x}\) рассчитывается с использованием формулы дифференцирования для функции \(\sqrt{x}\):

\(\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

4. Применим правило производной произведения функций:

\(\frac{d}{dx} \left( (x^2 - 3x - 2) \cdot \sqrt{x} \right) = (2x - 3) \cdot \sqrt{x} + (x^2 - 3x - 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

c) Функция: \(f(x) = 1\)

В данном случае функция представляет собой константу 1, и производная константы равна нулю:

\(\frac{d}{dx} \left( 1 \right) = 0\)

Таким образом, производная функции \(f(x) = 1\) равна нулю.