Каковы радиусы кольцевых токов 5 и 10, если их радиусы равны 12 см и 16 см соответственно, они имеют общий центр

Shustr

4

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти индукцию магнитного поля \(B\) в точке наблюдения, создаваемого током \(I\) в проводнике длиной \(L\). Закон имеет вид:
\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)), \(d\vec{l}\) - элементарный вектор длины проводника, \(r\) - расстояние от точки наблюдения до элемента длины проводника, а \(\vec{r}\) - вектор, направленный от элемента длины проводника к точке наблюдения.

Для данной задачи у нас есть два кольцевых проводника с радиусами 12 см и 16 см соответственно, при условии, что они имеют общий центр и их плоскости составляют угол 45°. Мы также должны учесть, что направление тока в этих проводниках различно.

Для первого кольца с радиусом 12 см (и радиусом \(R_1 = 0.12 \, \text{м}\)), мы можем найти элементарный вектор длины проводника \(d\vec{l}_1\), который указывает в направлении тока. Поскольку проводник представляет собой кольцо, элементарный вектор длины проводника будет направлен по касательной к кольцу в каждой точке его окружности. Так как плоскость кольца составляет угол 45° с плоскостью второго кольца, элементарный вектор длины проводника в первом кольце также будет составлять угол 45° с вектором, направленным от общего центра к точке наблюдения. Пусть \(\theta\) - угол между \(d\vec{l}_1\) и \(\vec{r}\), тогда \(\theta = 45°\).

Аналогично для второго кольца с радиусом 16 см (и радиусом \(R_2 = 0.16 \, \text{м}\)), мы можем найти элементарный вектор длины проводника \(d\vec{l}_2\). Второе кольцо также имеет плоскость, составляющую угол 45° с плоскостью первого кольца. Пусть \(\phi\) - угол между \(d\vec{l}_2\) и \(\vec{r}\), тогда \(\phi = -45°\) (так как направление тока во втором кольце противоположно направлению тока в первом кольце).

Теперь мы можем записать закон Био-Савара-Лапласа для каждого проводника и найти индукцию магнитного поля, создаваемого каждым проводником в общем центре кольц:

Для первого кольца:
\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I_1 d\vec{l}_1 \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

Для второго кольца:
\[d\vec{B}_2 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I_2 d\vec{l}_2 \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

где \(I_1\) и \(I_2\) - силы токов в первом и втором кольцах соответственно. Чтобы найти индукцию магнитного поля в общем центре колец, мы должны проинтегрировать вклады каждого проводника:

\[\vec{B} = \int{(d\vec{B}_1 + d\vec{B}_2)}\]

Теперь можно решить задачу, используя указанные формулы.