Знайдіть довжину бісектриси, проведеної з вершини меншого гострого кута прямокутного трикутника з катетами 18 см

Таисия

18

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе в прямоугольном треугольнике. Данная теорема гласит, что биссектриса прямоугольного треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к этой стороне катетам.

В нашем случае, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами длиной 18 см и 24 см (катеты обозначим как a и b соответственно).

Для начала найдем длину гипотенузы треугольника, применяя теорему Пифагора. Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где c - гипотенуза.

Подставляя значения катетов в данную формулу, получим: \(c = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\) см.

Теперь мы можем найти длину бисектрисы, проведенной из вершины меньшего гострого угла. Обозначим ее как d.

Для начала найдем площадь треугольника, используя формулу \(S = \frac{1}{2}ab\), где S - площадь, a и b - катеты.

Подставляя значения катетов, получим: \(S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\) кв.см.

Затем найдем радиус вписанной окружности треугольника, используя формулу \(r = \frac{S}{p}\), где r - радиус, S - площадь, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2. В нашем случае, это будет \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Подставляя значения катетов и гипотенузы, получаем: \(p = \frac{18 + 24 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36\) см.

Теперь подставим значения площади и полупериметра в формулу для нахождения радиуса: \(r = \frac{216}{36} = 6\) см.

И, наконец, найдем длину бисектрисы, используя формулу \(d = \frac{2ab}{a + b} \sqrt{1 + \frac{r^2}{(p - a)(p - b)}}\).

Подставляем значения катетов, радиуса и полупериметра: \(d = \frac{2 \cdot 18 \cdot 24}{18 + 24} \sqrt{1 + \frac{6^2}{(36 - 18)(36 - 24)}}\).

Выполняя несложные вычисления, получаем: \(d \approx 23.3\) см.

Таким образом, длина бисектрисы, проведенной из вершины меньшего гострого угла прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см, составляет примерно 23.3 см.