Какова площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, образованной плоскостью A1B1C1, проходящей через середину

Zvonkiy_Elf

46

Пусть сторона основания пирамиды PABC равна \(a\) см, а высота PH равна 8 см. В первую очередь, нам необходимо найти длину отрезка HC1.

Так как плоскость A1B1C1 проходит через середину H1 высоты PH, то отрезок HC1 будет равен половине высоты PH, то есть \(HC1 = \frac{1}{2} \times PH = \frac{1}{2} \times 8 = 4\) см.

Теперь, чтобы найти длины сторон A1B1 и B1C1, нам необходимо использовать подобие треугольников.

Треугольник A1B1H1 подобен треугольнику ABC, так как у них соответствующие углы равны. Поэтому отношение сторон треугольников будет одинаковым.

Отношение длин стороны A1B1 к стороне AB равно отношению длин стороны H1P к стороне PH.

Так как треугольник ABC -- правильный треугольник, то сторона AB равна \(a\) см, а сторона H1P равна 8 см. Значит, отношение длин сторон A1B1 к AB равно отношению 4 к 8, то есть \(\frac{A1B1}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем найти длину сторон A1B1 и B1C1. Учитывая, что отношение длин сторон A1B1 к AB равно \(\frac{1}{2}\), получаем \(A1B1 = \frac{1}{2} \times AB\).

Подставляя значение AB равное \(a\), получаем \(A1B1 = \frac{1}{2} \times a = \frac{a}{2}\) см.

Аналогично, для стороны B1C1: \(B1C1 = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times a = \frac{a}{2}\) см.

Теперь у нас есть длины всех сторон A1B1, B1C1 и HC1, и мы можем найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды можно найти по формуле:
\[S_{\text{бок}} = A1B1 + B1C1 + HC1\]

Подставляя значения длин сторон, получаем:
\[S_{\text{бок}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 4 = a + 4\] см².

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, образованной плоскостью A1B1C1, равна \(a + 4\) см².