Каковы шансы того, что через минуту эти 3 мухи окажутся в одной плоскости, если они влетели в комнату через форточку?

Алиса_2190

61

Для того чтобы определить шансы того, что 3 мухи окажутся в одной плоскости, нам необходимо проанализировать их движение в пространстве после того, как они влетели в комнату через форточку.

Предположим, что форточка является открытым проходом в комнату и что мухи движутся в случайных направлениях с равной вероятностью при каждом шаге. Мы также предположим, что размер комнаты достаточно большой, чтобы не ограничивать движение мух.

Каждая муха может выбрать любое направление в пространстве при каждом шаге. Вероятность того, что все три мухи окажутся в одной плоскости, будет зависеть от количества различных плоскостей, на которых они могут это сделать, и от общего числа возможных направлений движения каждой мухи.

Давайте рассмотрим первую муху. Ее движение можно представить как случайное блуждание в трехмерном пространстве. Каждый ее шаг может быть в любом направлении – влево, вправо, вверх, вниз, вперед или назад. Всего существует 6 возможных направлений движения для каждого шага.

Аналогично, для второй и третьей мухи существует 6 возможных направлений движения для каждой из них. Таким образом, общее число возможных направлений движения для всех трех мух равно \(6 \times 6 \times 6 = 216\).

Теперь давайте определим число различных плоскостей, на которых могут оказаться все три мухи. Заметим, что плоскость может быть определена любыми двумя из трех мух.

Предположим, что первая муха занимает позицию (0, 0, 0) в трехмерном пространстве. Вторая муха может находиться на любом расстоянии от первой мухи вдоль осей X, Y и Z. Таким образом, вторая муха имеет бесконечное количество позиций на бесконечности сфер, центр которых находится в точке (0, 0, 0). Аналогично, третья муха может находиться на бесконечной сфере, центр которой находится в любой позиции второй мухи.

Однако, поскольку мы ищем только вероятность того, что 3 мухи окажутся в одной плоскости, нам необходимо исключить ситуацию, когда все три мухи лежат на одной прямой.

Это означает, что вторая и третья мухи не могут находиться на одной оси, проходящей через первую муху. Таким образом, для любой позиции второй мухи существует только две позиции, третьей мухи, которые находятся в одной плоскости со второй мухой.

Таким образом, общее число различных плоскостей, на которых могут оказаться все три мухи, равно \(216 \times 2 = 432\).

Итак, шансы того, что 3 мухи окажутся в одной плоскости, равны отношению числа различных плоскостей к общему числу возможных направлений движения:

\[
\frac{432}{216} = 2
\]

Таким образом, вероятность того, что 3 мухи окажутся в одной плоскости, равна \(2\).