Каковы скорость и кинетическая энергия пули, которая попадает в тело массой м, повешенное на невесомой нити длиной

Солнечный_Бриз_7055

21

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

Дано, что масса пули равна \(m\), длина нити \(l = 1 \, \text{м}\), и нить отклоняется на угол \(\alpha\).

Пусть начальная скорость пули равна \(v_0\) и скорость пули после попадания в тело\footnote{технически точнее говорить "после колебания нити", так как на самом деле пуля не попадает в тело, а передает ему импульс} равна \(v\).

В начальный момент времени пуля движется по круговой траектории длиной нити, следовательно, можно установить, что начальная кинетическая энергия пули равна ее центростремительной энергии:

\[E_{\text{пули}} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m l^2 \omega_0^2,\]

где \(\omega_0\) – начальная угловая скорость пули.

После попадания в тело, пуля передает ему момент импульса, вследствие чего пуля начинает вращаться вместе с телом.

С помощью закона сохранения момента импульса, можно установить, что

\[m v l = I \omega,\]

где \(I\) – момент инерции тела, \(\omega\) – угловая скорость тела.

Момент инерции тела можно выразить как \(I = m r^2\), где \(r\) - расстояние от оси вращения (центра масс тела) до точки, где закреплена нить. В данном случае \(r = l\), поэтому \(I = m l^2\).

Теперь, имея два уравнения: одно, связывающее кинетическую энергию и начальную угловую скорость пули, и другое, связывающее массу пули, скорость пули и угловую скорость тела, мы можем решить систему уравнений относительно \(v\) и \(E_{\text{пули}}\).

Раскроем выражение для угловой скорости \(\omega\) через скорость \(v\):

\(\omega = \frac{v}{l}\)

Теперь, зная, что \(I = m l^2\) и подставляя значение для угловой скорости, получим:

\(m v l = m l^2 \frac{v}{l}\)

Решаем уравнение относительно \(v\):

\(m v l = m l v\)

Разделим обе части уравнения на \(m l\):

\(v = l\)

Таким образом, мы получили, что скорость пули после попадания в тело равна длине нити \(l\), то есть \(v = 1 \, \text{м/с}\).

Теперь найдем кинетическую энергию пули после попадания в тело. Подставим значение расчетной скорости \(v\) в выражение для начальной кинетической энергии пули:

\[E_{\text{пули}} = \frac{1}{2} m l^2 \omega_0^2 = \frac{1}{2} m l^2 \left(\frac{v}{l}\right)^2 = \frac{1}{2} m v^2.\]

Подставим значения и рассчитаем кинетическую энергию пули после попадания в тело:

\[E_{\text{пули}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (1 \, \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \cdot m \, \text{Дж}.\]

Окончательный ответ: скорость пули после попадания в тело равна \(v = 1 \, \text{м/с}\), а ее кинетическая энергия \(E_{\text{пули}} = \frac{1}{2} \cdot m\) Дж.