Каковы скорости скорого и товарного поездов, если расстояние между двумя вокзалами составляет 650 км, а скорый поезд

Баронесса

68

Давайте обозначим скорость товарного поезда через \( v \) км/ч. Тогда скорость скорого поезда будет составлять \( v + 24 \) км/ч.

Расстояние между вокзалами составляет 650 км. Скорый поезд проходит это расстояние на 12 часов быстрее, чем товарный поезд. Это значит, что время пути скорого поезда будет на 12 часов меньше, чем время пути товарного поезда.

Теперь мы можем составить систему уравнений на основе данных задачи:

Уравнение для скорого поезда:
\(\frac{{650}}{{v + 24}} = t - 12\)

Уравнение для товарного поезда:
\(\frac{{650}}{{v}} = t\)

Где \( t \) - время пути для товарного поезда.

Решим эту систему уравнений для нахождения скоростей каждого поезда. Для этого мы можем использовать метод подстановки.

Сначала решим второе уравнение относительно \( t \):
\(t = \frac{{650}}{{v}}\)

Теперь мы можем подставить это значение \( t \) в первое уравнение:
\(\frac{{650}}{{v + 24}} = \frac{{650}}{{v}} - 12\)

Умножим обе части уравнения на \( v(v + 24) \), чтобы избавиться от знаменателя:
\(650v = 650(v + 24) - 12v(v + 24)\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\(650v = 650v + 15,600 - 12v^2 - 288v\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\(12v^2 + 288v - 15,600 = 0\)

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, формулы или графиков. Давайте воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\(v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\)

Гдe \( a = 12 \), \( b = 288 \) и \( c = -15,600 \).

Подставим эти значения в формулу:
\(v = \frac{{-288 \pm \sqrt{{288^2 - 4 \cdot 12 \cdot -15,600}}}}{{2 \cdot 12}}\)

Произведем вычисления:
\(v = \frac{{-288 \pm \sqrt{{82,944 + 748,800}}}}{{24}}\)
\(v = \frac{{-288 \pm \sqrt{{831,744}}}}{{24}}\)
\(v = \frac{{-288 \pm 912}}{{24}}\)

Теперь найдем два значения \( v \), используя плюс и минус:
\(v_1 = \frac{{-288 + 912}}{{24}} = \frac{{624}}{{24}} = 26\)
\(v_2 = \frac{{-288 - 912}}{{24}} = \frac{{-1200}}{{24}} = -50\)

Так как скорость не может быть отрицательной, то значение \( v = -50 \) является недопустимым. Поэтому скорость товарного поезда составляет 26 км/ч.

Теперь мы можем найти скорость скорого поезда:
\(v + 24 = 26 + 24 = 50\) км/ч.

Итак, скорость товарного поезда равна 26 км/ч, а скорость скорого поезда равна 50 км/ч.