Каковы скорости тела в конце пути в впадине и на горке с одинаковыми дугами траекторий и коэффициентами трения

Солнечный_Берег_9658

36

Для начала, давайте введем некоторые обозначения. Пусть V₀ - начальная скорость тела, а R - радиус кривизны дуги траектории. Также, пусть μ - коэффициент трения между телом и поверхностью.

1. Скорость в конце пути в впадине:
При движении тела по впадине наше одно измерение будет отрицательным. По формуле центростремительного ускорения \( a = \frac{{V^2}}{{R}} \) можем найти ускорение a, которое действует на тело. Так как у нас есть трение, то туда будет действовать внешняя сила трения. Она определяется формулой: \( F_f = \mu \cdot m \cdot g \), где m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона \( F = m \cdot a \) для тела, движущегося вдоль впадины. С учетом трения, закон Ньютона принимает вид: \( m \cdot a - F_f = m \cdot g - \mu \cdot m \cdot g = m \cdot (1 - \mu) \cdot g\). Подставляя значение ускорения a, получим \( \frac{{V^2}}{{R}} = m \cdot (1 - \mu) \cdot g \).

Из этого уравнения можно найти скорость V в конце пути в впадине:
\[ V = \sqrt{(1 - \mu) \cdot g \cdot R} \]

2. Скорость на горке:
Теперь рассмотрим движение тела по горке. Здесь наше одно измерение будет положительным. По аналогичным рассуждениям, ускорение в данном случае будет равно \( a = \frac{{V^2}}{{R}} \). Опять же, существует внешняя сила трения, так что закон Ньютона примет вид \( m \cdot a + F_f = m \cdot g + \mu \cdot m \cdot g = m \cdot (1 + \mu) \cdot g\). Подставляя значение ускорения a, получим \( \frac{{V^2}}{{R}} = m \cdot (1 + \mu) \cdot g \).

Из этого уравнения можно найти скорость V на горке:
\[ V = \sqrt{(1 + \mu) \cdot g \cdot R} \]

Таким образом, скорость тела в конце пути в впадине будет равна \( \sqrt{(1 - \mu) \cdot g \cdot R} \), а на горке - \( \sqrt{(1 + \mu) \cdot g \cdot R} \).

Эти формулы позволяют нам определить скорости тела в конце пути в зависимости от радиуса кривизны и коэффициента трения, сохраняя при этом одинаковую начальную скорость V₀.