Каковы сторона и площадь равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника

Tarantul

18

Чтобы найти сторону и площадь равностороннего треугольника, мы можем использовать формулы, связанные с радиусом окружности, описанной вокруг треугольника. Давайте посмотрим на каждый шаг более подробно:

1. Начнем с определения равностороннего треугольника. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны. Пусть длина каждой стороны равна \(a\).

2. Когда вокруг равностороннего треугольника описывается окружность, радиус этой окружности будет равен половине длины стороны треугольника. Пусть радиус окружности равен \(R\).

3. Давайте найдем высоту треугольника. Высота равностороннего треугольника - это линия, перпендикулярная к одной из его сторон и проходящая через противоположную вершину. В равностороннем треугольнике, высота будет проходить через середину стороны и образовывать два равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(a\) и катетом \(a/2\), высота \(h\) можно выразить следующей формулой:

\[
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

4. Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем найти значение стороны \(a\). Формула для этого связывает радиус окружности \(R\) с высотой \(h\) следующим образом:

\[
R = \frac{2}{3}h
\]

Подставляя значение \(h\) из предыдущего шага в эту формулу, мы можем найти длину стороны \(a\).

5. Итак, сторона равностороннего треугольника \(a\) будет равна:

\[
a = \frac{3R}{2}
\]

6. Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
\]

Подставляя значение стороны \(a\), которое мы нашли ранее, мы можем найти площадь треугольника.

Таким образом, если радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен \(R\), то сторона треугольника равна \(\frac{3R}{2}\), а площадь треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{3R}{2}\right)^2\).