Каковы сумма и произведение корней уравнения 2x²-6x-14=0?

Мирослав_4330

39

Для решения данного уравнения нам понадобится использовать формулу дискриминанта. Сначала посмотрим на само уравнение:

\[2x^2 - 6x - 14 = 0\]

Используя формулу дискриминанта, можно найти значения корней уравнения. Формула дискриминанта имеет вид:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты в уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае:

\(a = 2\), \(b = -6\) и \(c = -14\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)\]
\[D = 36 + 112\]
\[D = 148\]

Теперь, зная значение дискриминанта \(D\), мы можем найти значения корней.

Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных корня. Формула для нахождения корней имеет вид:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов в формулу:

\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{148}}{2 \cdot 2}\]
\[x_1 = \frac{6 + \sqrt{148}}{4}\]
\[x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{37}}{4}\]
\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{148}}{2 \cdot 2}\]
\[x_2 = \frac{6 - \sqrt{148}}{4}\]
\[x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{37}}{4}\]
\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\]

Итак, получены значения корней:

\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}\]
\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\]

Теперь можно найти их сумму и произведение.

Сумма корней равна:

\[x_1 + x_2 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2} + \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\]
\[x_1 + x_2 = \frac{3 + \sqrt{37} + 3 - \sqrt{37}}{2}\]
\[x_1 + x_2 = \frac{6}{2}\]
\[x_1 + x_2 = 3\]

Произведение корней равно:

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\]
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{9 - 37}{4}\]
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{-28}{4}\]
\[x_1 \cdot x_2 = -7\]

Таким образом, сумма корней уравнения \(2x^2-6x-14=0\) равна 3, а произведение корней равно -7.