Второй контрольный тест по теме Функция логарифма, уравнения и неравенства с логарифмами

Мишка

37

Конечно, давайте решим задачу с логарифмами. Вот она:

Задача: Решите уравнение \(\log_2{(3x-1)} + \log_2{(x+2)} = \log_2{(x+3)}\) и проверьте корни на допустимость.

Решение:

Шаг 1: Используем свойства логарифма, чтобы преобразовать уравнение. Сначала применим свойство произведения логарифмов: \(\log_b{(a)} + \log_b{(c)} = \log_b{(a \cdot c)}\). Применяем это свойство, чтобы получить
\(\log_2{(3x-1)(x+2)} = \log_2{(x+3)}\).

Шаг 2: Следующим шагом применим свойство равенства логарифмов: \(\log_b{(a)} = \log_b{(c)}\) эквивалентно \(a = c\). Мы можем использовать это правило, чтобы установить, что \((3x-1)(x+2) = x+3\).

Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в получившемся уравнении:
\(3x^2 + 5x - 7 = x + 3\).

Шаг 4: Упростим уравнение, вычитая \(x\) и \(3\) с обеих сторон:
\(3x^2 + 4x - 10 = 0\).

Шаг 5: Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 4\) и \(c = -10\).

Шаг 6: Вычисляем дискриминант:
\(D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 16 + 120 = 136\).

Шаг 7: Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два вещественных корня.

Шаг 8: Используем формулу корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Шаг 9: Подставляем значения в формулу и вычисляем корни:
\(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{136}}{2 \cdot 3}\) и \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{136}}{2 \cdot 3}\).

Шаг 10: Вычисляем корни:
\(x_1 \approx 1.33\) и \(x_2 \approx -2.33\).

Шаг 11: Проверим корни на допустимость, подставив их в исходное уравнение. Мы не можем брать логарифм отрицательного числа или нуля, поэтому корень \(x_2\) (\(x \approx -2.33\)) не является допустимым.

Шаг 12: Окончательный ответ: единственным корнем уравнения является \(x_1 \approx 1.33\).

Это детальное решение позволяет понять, как мы выполнили каждый шаг. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!