Каковы углы треугольника A′B′C′, если дан ромб OABC с углом O, равным 40∘, и проведена инверсия относительно точки

Ледяная_Душа

39

Для начала нам нужно понять как изменится ромб OABC после инверсии.

Инверсия - это действие, при котором точка \(O\) переходит в бесконечность, при этом любой другой точке \(X\) соответствует точка \(X"\) такая, что прямая \(OX\) проходит через \(X"\) и делит отрезок \(OX"\) в отношении, постоянном для данной инверсии.

Сначала посмотрим на угол \(O\). После инверсии прямая \(OB\) пройдет через точку \(B"\). Поскольку угол между радиусом и касательной равен 90°, то угол \(BOB"\) будет прямым. Аналогично, угол \(COB"\) также будет прямым. Получается, что точка \(B"\) лежит на окружности, описанной вокруг треугольника \(OBC\), а значит, угол \(OBC\) равен углу \(OB"C"\).

Теперь рассмотрим угол \(OC\). После инверсии прямая \(OC\) пройдет через точку \(C"\). Поскольку угол \(COC"\) будет прямым, то угол \(BOC\) будет равен углу \(B"C"C\).

Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°, можно прийти к выводу, что углы треугольника \(A"B"C"\) равны углам треугольника \(OBC\). Таким образом, угол \(A"B"C" = 180° - \angle OBC - \angle BOC = 180° - 40° - 2 \cdot 90° = 180° - 40° - 180° = -40°\).

Итак, угол \(A"B"C" = -40°\).