Каковы все возможные значения целого числа a, если у квадратных трехчленов x2+ax+b и x2+bx+1700 есть общий простой

Ирина

61

Для начала, давайте выразим корни обоих квадратных трехчленов. Поскольку эти два трехчлена имеют общий простой корень, он будет являться корнем и для первого, и для второго трехчленов. Пусть этот корень обозначается через r.

Теперь, решим уравнение для первого квадратного трехчлена:
\(x^2 + ax + b = 0\)

Заметим, что r является корнем этого уравнения, поэтому подставим r вместо x и получим:
\(r^2 + ar + b = 0 \quad\quad (1)\)

Аналогично, решим уравнение для второго квадратного трехчлена:
\(x^2 + bx + 1700 = 0\)

Подставим r вместо x и получим:
\(r^2 + br + 1700 = 0 \quad\quad (2)\)

Теперь у нас есть два уравнения ((1) и (2)), которые должны иметь общий простой корень r. Для того чтобы найти возможные значения целого числа a, мы можем вначале выразить b через a.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
\((r^2 + ar + b) - (r^2 + br + 1700) = 0\)

Раскроем скобки и упростим:
\(ar - br + (b - 1700) = 0\)
\((a - b)r + (b - 1700) = 0\)

Поскольку r является ненулевым корнем, мы можем сократить его слева и получим:
\(a - b + \frac{b - 1700}{r} = 0\)

Теперь, чтобы выразить b через a, нужно решить полученное уравнение относительно b:
\(b = 1700 - (a - b)\cdot \frac{1}{r}\)

Обратите внимание, что здесь мы будем получать различные значения для b в зависимости от выбора r, так как у нас нет информации о значениях r.

Таким образом, возможные значения целого числа a могут быть любыми, а значения b будут зависеть от выбора r.