Каковы закон, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение числа

Святослав

68

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Закон распределения:
Для определения закона распределения числа выпадений герба при проведении четырех подбрасываний монеты, мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждое подбрасывание монеты является независимым испытанием с двумя возможными исходами: выпадение герба или решки.

Функция распределения:
Функция распределения показывает вероятность получить не более чем определенное количество гербов при проведении определенного числа подбрасываний монеты. Для данной задачи находится сумма вероятностей всех значений от 0 до 4. Давайте вычислим это подробнее:

Для нахождения функции распределения требуется узнать вероятность каждого количества гербов от 0 до 4 при проведении 4 подбрасываний монеты.

Воспользуемся формулой биномиального распределения:
\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
- \(P(X=k)\) - вероятность получить \(k\) гербов,
- \(C(n, k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\),
- \(p\) - вероятность выпадения герба при одном подбрасывании монеты,
- \(n\) - количество подбрасываний монеты.

Для данной задачи, \(p = \frac{1}{2}\) (вероятность выпадения герба) и \(n = 4\) (количество подбрасываний монеты).

Подставим значения и найдем вероятности для каждого значения \(k\):

\(P(X=0) = C(4, 0) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}\)

\(P(X=1) = C(4, 1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}\)

\(P(X=2) = C(4, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\)

\(P(X=3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-3} = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(P(X=4) = C(4, 4) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-4} = 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot 1 = \frac{1}{16}\)

Теперь мы можем составить функцию распределения:

\[
\begin{align*}
F(X=0) &= \frac{1}{16} \\
F(X=1) &= \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16}\\
F(X=2) &= \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{13}{16}\\
F(X=3) &= \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{15}{16}\\
F(X=4) &= \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 1\\
\end{align*}
\]

Таким образом, функция распределения для данной задачи будет выглядеть следующим образом:
\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\(X\) & \(F(X)\) \\
\hline
0 & \(\frac{1}{16}\) \\
\hline
1 & \(\frac{5}{16}\) \\
\hline
2 & \(\frac{13}{16}\) \\
\hline
3 & \(\frac{15}{16}\) \\
\hline
4 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Математическое ожидание:
Математическое ожидание числа выпадений герба можно найти, умножив каждое значение \(X\) его вероятностью \(P(X)\) и сложив все полученные произведения.

\[
E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4)
\]

Подставим найденные вероятности и вычислим математическое ожидание:

\[
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{16} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} + \frac{10}{16} = \frac{16}{16} = 1
\]

Таким образом, математическое ожидание числа выпадений герба равно 1.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение позволяют измерить степень разброса значений относительно математического ожидания.

Дисперсия вычисляется по формуле:
\[
\text{Var}(X) = E((X-E(X))^2)
\]

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии.

Для данной задачи:
\[
\text{Var}(X) = (0-1)^2 \cdot P(X=0) + (1-1)^2 \cdot P(X=1) + (2-1)^2 \cdot P(X=2) + (3-1)^2 \cdot P(X=3) + (4-1)^2 \cdot P(X=4)
\]

Подставим значения и вычислим дисперсию:

\[
\text{Var}(X) = (0-1)^2 \cdot \frac{1}{16} + (1-1)^2 \cdot \frac{1}{4} + (2-1)^2 \cdot \frac{3}{8} + (3-1)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-1)^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16} + 0 + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} = \frac{1}{2}
\]

Среднее квадратическое отклонение:
\[
\text{StdDev}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, дисперсия равна \(\frac{1}{2}\), а среднее квадратическое отклонение равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Давайте теперь визуализируем полученное распределение на полигоне.

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\(X\) & \(P(X)\) \\
\hline
0 & \(\frac{1}{16}\) \\
\hline
1 & \(\frac{1}{4}\) \\
\hline
2 & \(\frac{3}{8}\) \\
\hline
3 & \(\frac{1}{4}\) \\
\hline
4 & \(\frac{1}{16}\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

На полигоне можно представить эти значения в виде гистограммы, где по горизонтальной оси отложены значения \(X\), а по вертикальной оси - вероятности \(P(X)\). Точки соединяются ломаной линией, чтобы получить график распределения:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & \frac{3}{8} & \\
& & & & \\
& & & & & \\
\frac{1}{16} & & & & & \frac{1}{16} \\
& & \frac{1}{4} & & \frac{1}{4} \\
& & & & \\
& & & \frac{1}{16} & \\
\end{array}
\]

Таким образом, мы получили графическую визуализацию распределения числа выпадений герба при проведении четырех подбрасываний монеты.