Каковы значения cost и sint при t = -8π/3?

Радуга

54

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулы связи между тригонометрическими функциями и окружностию

Сначала рассмотрим первую формулу:

\[\cos t = \frac{{\text{Смежная сторона}}}{{\text{Гипотенуза}}}\]

\[\sin t = \frac{{\text{Противоположная сторона}}}{{\text{Гипотенуза}}}\]

В данном случае, задано t = -8π/3. Чтобы найти значения cos t и sin t, мы должны сначала найти соответствующие стороны треугольника в окружности.

Для того, чтобы упростить наши вычисления, давайте представим t = -8π/3 на числовой прямой.

Будучи углом в стандартной позиции, мы отмеряем угол от положительной оси x против часовой стрелки (в отрицательном направлении).

Так как угол измеряется в -8π/3, мы делаем полный оборот по окружности 8 раз и затем дополнительно двигаемся на π/3 против часовой стрелки.

Теперь, чтобы определить значения cos t и sin t, нам нужно найти соответствующие координаты точки на окружности, где терминальный отрезок градуса пересекает окружность.

Так как нам нужны значения для координат x и y, давайте использовать формулы:

\[x = \cos t\]
\[y = \sin t\]

Теперь, подставим значение t = -8π/3 в формулы и вычислим:

\[x = \cos (-8π/3)\]
\[y = \sin (-8π/3)\]

Сначала посчитаем cos (-8π/3):
\[x = \cos (-8π/3)\]

Так как cos (-θ) = cos θ, то получаем:
\[x = \cos (8π/3)\]

Используя треугольник равносторонний со стороной равной 2, где смежная сторона для угла 8π/3 будет равна 1, а гипотенуза равна 2, получим значения cos t:
\[x = \cos (8π/3) = \frac{1}{2}\]

Теперь, посчитаем sin (-8π/3):
\[y = \sin (-8π/3)\]

Так как sin (-θ) = -sin θ, то получаем:
\[y = -\sin (8π/3)\]

Используя треугольник равносторонний со стороной равной 2, где противоположная сторона для угла 8π/3 будет равна √3, а гипотенуза равна 2, получим значения sin t:
\[y = -\sin (8π/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Итак, ответ на задачу: значения cost и sint при t = -8π/3 равны соответственно \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).