Каковы значения cost и sint при t = -8π/3?

Радуга

54

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулы связи между тригонометрическими функциями и окружностию

Сначала рассмотрим первую формулу:

$$\cos t=\frac{\text{Смежная сторона}}{\text{Гипотенуза}}$$

$$\sin t=\frac{\text{Противоположная сторона}}{\text{Гипотенуза}}$$

В данном случае, задано t = -8π/3. Чтобы найти значения cos t и sin t, мы должны сначала найти соответствующие стороны треугольника в окружности.

Для того, чтобы упростить наши вычисления, давайте представим t = -8π/3 на числовой прямой.

Будучи углом в стандартной позиции, мы отмеряем угол от положительной оси x против часовой стрелки (в отрицательном направлении).

Так как угол измеряется в -8π/3, мы делаем полный оборот по окружности 8 раз и затем дополнительно двигаемся на π/3 против часовой стрелки.

Теперь, чтобы определить значения cos t и sin t, нам нужно найти соответствующие координаты точки на окружности, где терминальный отрезок градуса пересекает окружность.

Так как нам нужны значения для координат x и y, давайте использовать формулы:

$$x=\cos t$$
$$y=\sin t$$

Теперь, подставим значение t = -8π/3 в формулы и вычислим:

$$x=\cos (-8\pi /3)$$
$$y=\sin (-8\pi /3)$$

Сначала посчитаем cos (-8π/3):
$$x=\cos (-8\pi /3)$$

Так как cos (-θ) = cos θ, то получаем:
$$x=\cos (8\pi /3)$$

Используя треугольник равносторонний со стороной равной 2, где смежная сторона для угла 8π/3 будет равна 1, а гипотенуза равна 2, получим значения cos t:
$$x=\cos (8\pi /3)=\frac{1}{2}$$

Теперь, посчитаем sin (-8π/3):
$$y=\sin (-8\pi /3)$$

Так как sin (-θ) = -sin θ, то получаем:
$$y=-\sin (8\pi /3)$$

Используя треугольник равносторонний со стороной равной 2, где противоположная сторона для угла 8π/3 будет равна √3, а гипотенуза равна 2, получим значения sin t:
$$y=-\sin (8\pi /3)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итак, ответ на задачу: значения cost и sint при t = -8π/3 равны соответственно $\frac{1}{2}$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.