Найдите площадь поверхности четырехугольной призмы, если одна сторона основания больше другой на 2 м и образует

Fedor_4414

44

Чтобы найти площадь поверхности четырехугольной призмы, нужно найти площади боковых граней и площадь основания, а затем сложить их вместе.

Давайте начнем с нахождения площади основания. У нас есть информация о сторонах основания и угле между ними.

Пусть одна сторона основания равна \(a\) м, а другая сторона (большая) равна \(a + 2\) м. Также у нас есть угол между ними равный 60 градусов.

Для начала найдем третью сторону основания, используя косинусную теорему:

\[
c^2 = a^2 + (a+2)^2 - 2(a)(a+2)\cos{60^\circ}
\]

\[
c^2 = a^2 + a^2 + 4a + 4 - 2a(a+2)\cos{60^\circ}
\]

\[
c^2 = 2a^2 + 4a + 4 - 2a^2 - 4a\cos{60^\circ}
\]

\[
c^2 = 4a + 4 - 4a
\]

\[
c^2 = 4
\]

\[
c = \sqrt{4} = 2
\]

Таким образом, третья сторона основания равна 2 метрам.

Теперь, чтобы найти площадь основания, воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[
S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin{60^\circ}
\]

\[
S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ}
\]

\[
S_{\text{основания}} = a \cdot \sin{60^\circ}
\]

Таким образом, площадь основания равна \(a \cdot \sin{60^\circ}\) квадратных метров.

Теперь давайте найдем площадь боковых граней. Для этого нужно найти высоту призмы и длину боковой стороны.

У нас уже есть длина меньшей стороны основания (\(a\) м) и длина большей стороны основания (\(a+2\) м).

Высота призмы равна разности между большей и меньшей сторонами основания. То есть:

\[h = (a+2) - a = 2\text{ м}\]

Теперь найдем длину боковой стороны, она равна диагонали основания, противолежащей углу в 60 градусов.

Нам уже дана длина этой диагонали: \(\sqrt{7}\) м.

Теперь вспомним знакомый нам теорему Пифагора и найдем длину боковой стороны:

\[
s^2 = (a+2)^2 + (\sqrt{7})^2
\]

\[
s^2 = a^2 + 4a + 4 + 7
\]

\[
s^2 = a^2 + 4a + 11
\]

Теперь мы знаем длину боковой стороны призмы.

Теперь, чтобы найти площадь боковых граней, умножим периметр основания на высоту:

\[
S_{\text{боковых граней}} = 2a + s \cdot h
\]

\[
S_{\text{боковых граней}} = 2a + (a+2+2)\cdot 2
\]

\[
S_{\text{боковых граней}} = 2a + (a+4)\cdot 2
\]

\[
S_{\text{боковых граней}} = 2a + 2a + 8
\]

\[
S_{\text{боковых граней}} = 4a + 8
\]

Теперь у нас есть площадь основания \(S_{\text{основания}}\) и площадь боковых граней \(S_{\text{боковых граней}}\).

Чтобы найти общую площадь поверхности призмы, сложим эти две площади:

\[
S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}} = a \cdot \sin{60^\circ} + 4a + 8
\]

Таким образом, площадь поверхности четырехугольной призмы равна \(a \cdot \sin{60^\circ} + 4a + 8\) квадратных метров.