Каковы значения диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°?

Загадочный_Сокровище

1

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о параллелограммах и тригонометрии. Для начала, давайте воспользуемся законом косинусов, чтобы найти длину одной из диагоналей параллелограмма.

Пусть диагонали параллелограмма обозначены как \(d_1\) и \(d_2\). Мы хотим найти их значения.

Мы знаем, что стороны параллелограмма равны 8 см и 4 см, и угол между ними составляет 120°. Давайте используем закон косинусов для нахождения длины одной из диагоналей.

Закон косинусов утверждает следующее:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где \(c\) - это длина стороны параллелограмма, \(a\) и \(b\) - длины сторон, образующих угол \(C\).

Для нашей задачи:
\(a = 8\) см,
\(b = 4\) см,
\(C = 120^\circ\).

Теперь можем подставить данные в формулу:
\[d_1^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)\]

Давайте рассчитаем это выражение:

\[d_1^2 = 64 + 16 - 64 \cdot \cos(120^\circ)\]

Теперь можем рассчитать значение \(\cos(120^\circ)\). Косинус угла 120° известен, и равен \(-\frac{1}{2}\). Подставим это значение:

\[d_1^2 = 64 + 16 - 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[d_1^2 = 64 + 16 + 32\]

\[d_1^2 = 112\]

Чтобы найти значение \(d_1\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[d_1 = \sqrt{112}\]

\[d_1 \approx 10.6\]
Итак, значение одной из диагоналей параллелограмма составляет примерно 10.6 см.

Теперь давайте найдем значение второй диагонали. Так как параллелограммы имеют две пары параллельных сторон, диагонали параллелограмма делятся пополам. Это означает, что значение второй диагонали также будет составлять примерно 10.6 см.

Таким образом, значения диагоналей параллелограмма равны примерно 10.6 см. Все диагонали параллелограмма одинаковы в длине.