Каков угол между векторами MN и MT треугольника MNT, если координаты точек M (1; -1; 3), N (3; -1; 1) и T (-1

Vechnaya_Mechta

52

Для решения этой задачи, нам необходимо найти векторы MN и MT, а затем использовать формулу для нахождения угла между векторами.

1. Найдем вектор MN.
Вектор MN можно получить вычитая координаты точки M из координат точки N.
\[\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)\]
Подставляя значения координат, получаем:
\[\overrightarrow{MN} = (3 - 1, -1 - (-1), 1 - 3) = (2, 0, -2)\]

2. Найдем вектор MT.
Вектор MT можно получить вычитая координаты точки M из координат точки T.
\[\overrightarrow{MT} = (x_T - x_M, y_T - y_M, z_T - z_M)\]
Подставляя значения координат, получаем:
\[\overrightarrow{MT} = (-1 - 1, -1 - (-1), 3 - 3) = (-2, 0, 0)\]

3. Теперь мы имеем векторы MN и MT. Для нахождения угла между ними, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}}{\|\overrightarrow{MN}\| \cdot \|\overrightarrow{MT}\|}\]

Где \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}\) - скалярное произведение векторов MN и MT,
\(\|\overrightarrow{MN}\|\) - модуль (длина) вектора MN,
\(\|\overrightarrow{MT}\|\) - модуль (длина) вектора MT.

4. Расчитаем значения для формулы:
\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = (2 \cdot -2) + (0 \cdot 0) + (-2 \cdot 0) = -4\)
\(\|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\(\|\overrightarrow{MT}\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\)

5. Подставим значения в формулу и рассчитаем угол \(\theta\):
\(\cos(\theta) = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\)

Угол \(\theta\) между векторами MN и MT равен \(arccos(-\sqrt{2})\).

6. Вычислим значение угла \(\theta\):
\(arccos(-\sqrt{2}) \approx 135.26^\circ\)

Таким образом, угол между векторами MN и MT треугольника MNT примерно равен \(135.26^\circ\).