Каковы значения радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника высотой 15 см? Предоставьте формулы

Игоревна

47

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства и формулы, связанные с вписанными и описанными окружностями правильного треугольника.

1. Радиус вписанной окружности (r): Равен половине длины стороны треугольника, деленной на тангенс угла при основании. Формула для вычисления радиуса вписанной окружности в равностороннем треугольнике:
\[ r = \frac{s}{2\sqrt{3}}, \]
где s - длина стороны треугольника (равная 15 см).

2. Радиус описанной окружности (R): Равен половине длины стороны треугольника, деленной на синус угла при основании. Формула для вычисления радиуса описанной окружности в равностороннем треугольнике:
\[ R = \frac{s}{2\sin{\alpha}}, \]
где \(\alpha\) - угол при основании (равный 60 градусов в равностороннем треугольнике).

Теперь, зная формулы, мы можем рассчитать значения радиусов.

1. Радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{15}{2\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \text{ см}. \]

2. Радиус описанной окружности:

Для расчета радиуса описанной окружности нам понадобится значение синуса 60 градусов, которое равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[ R = \frac{15}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}. \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен приближенно 4.33 см, а радиус описанной окружности равен приближенно 8.66 см.

Надеюсь, это понятное и подробное решение помогло вам разобраться с задачей.