Каков двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 1 см, а сторона основания

Олег

57

Чтобы найти двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобится использовать геометрические свойства. Давайте разберемся в этом шаг за шагом.

1. Сначала рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, и проходящей через высшую точку пирамиды. Это сечение будет параллелограммом.

2. Поскольку пирамида является правильной, все ее боковые ребра и диагонали основания равны между собой. Заметим, что диагональ параллелограмма представляет собой высоту пирамиды.

3. Так как высота пирамиды равна 1 см, а основание является квадратом со стороной 2 см, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали параллелограмма. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза - это диагональ параллелограмма, а катеты - половина стороны основания (так как это квадрат).

4. Применяя теорему Пифагора, получаем следующее:
\((\frac{1}{2} \cdot 2)^2 + (\frac{1}{2} \cdot 2)^2 = d^2\),
где \(d\) - длина диагонали параллелограмма.

5. Упрощая эту формулу, имеем:
\(1^2 + 1^2 = d^2\),
\(2 = d^2\),
\(d = \sqrt{2}\).

6. Таким образом, длина диагонали параллелограмма равна \(\sqrt{2}\) см.

7. Обратите внимание, что диагональ параллелограмма также является боковым ребром пирамиды.

8. Теперь давайте вернемся к пирамиде. Если мы нарисуем линии из каждого угла основания пирамиды до вершины, которая лежит над основанием, мы получим равносторонний треугольник.

9. Так как длина бокового ребра пирамиды равна \(\sqrt{2}\) см, а высота треугольника равна 1 см, мы можем использовать тангенс угла, чтобы найти двугранный угол при основании.

10. Тангенс угла равен отношению противоположной катета к прилежащему катету. В нашем случае, противоположный катет - это высота треугольника, а прилежащий катет - это половина длины бокового ребра пирамиды.

11. Применяя тангенс, получаем следующее:
\(\tan(\theta) = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\),
\(\tan(\theta) = \frac{2}{\sqrt{2}}\).

12. Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), и получим:
\(\tan(\theta) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}\),
\(\tan(\theta) = \sqrt{2}\).

13. Теперь, чтобы найти значение угла, мы можем использовать тангенсиверс, или арктангенс. Применяя арктангенс к обоим сторонам равенства, получаем следующее:
\(\theta = \arctan(\sqrt{2})\).

14. Найдем значение данного выражения. Ответом будет:

\(\theta \approx 54.74\) градусов.

15. Таким образом, двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды при данных условиях равен примерно 54.74 градусов.

Я надеюсь, что объяснение вам понятно и помогает вам лучше понять данную задачу!