Каковы значения сторон прямоугольного треугольника, если гипотенуза на 4 см больше одного из катетов, а второй катет

Yarmarka

34

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. В данной задаче нам нужно найти значения сторон прямоугольного треугольника, для которого гипотенуза больше одного из катетов на 4 см, а второй катет равен среднему арифметическому гипотенузы и первого катета.

Представим, что первый катет равен \( x \) см. Тогда второй катет будет равен среднему арифметическому между гипотенузой и первым катетом, то есть \( \frac{{x + (x+4)}}{2} = \frac{{2x + 4}}{2} = x + 2 \) см.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть:

\[ x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2 \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \]

Сокращаем слагаемые:

\[ 2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \]

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:

\[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \) и \( c = -12 \).

Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

Подставим значения \( a = 1 \), \( b = -4 \) и \( c = -12 \) и найдем значения \( x \):

\[ x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 + 48}}}}{2} \]

\[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{64}}}}{2} \]

Мы получили два возможных значения для \( x \):

\[ x_1 = \frac{{4 + \sqrt{{64}}}}{2} = \frac{{4 + 8}}{2} = 6 \]

и

\[ x_2 = \frac{{4 - \sqrt{{64}}}}{2} = \frac{{4 - 8}}{2} = -2 \]

Так как стороны не могут быть отрицательными, отбрасываем значение \( x_2 = -2 \) и получаем, что \( x = 6 \).

Теперь мы знаем, что первый катет равен 6 см. Второй катет равен среднему арифметическому между гипотенузой и первым катетом, то есть \( x + 2 = 6 + 2 = 8 \) см.

Итак, значения сторон прямоугольного треугольника составляют: первый катет - 6 см, второй катет - 8 см.