Какой будет четвертый элемент арифметической прогрессии, где сумма всех ее элементов, независимо от их числа, равна

Заблудший_Астронавт

63

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Представим арифметическую прогрессию в общем виде.
Предположим, что первый элемент арифметической прогрессии равен \(a\), а разность между элементами равна \(d\). Тогда в общем виде арифметическая прогрессия будет иметь вид:

\(a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...\)

Шаг 2: Найдем сумму всех элементов арифметической прогрессии.
Сумма всех элементов арифметической прогрессии может быть найдена через формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\]

где \(S\) - сумма всех элементов арифметической прогрессии, \(n\) - количество элементов, \(a\) - первый элемент, \(d\) - разность между элементами.

Шаг 3: Запишем условие задачи.
У нас есть условие, что сумма всех элементов, независимо от их числа, равна утроенному квадрату этих элементов. Мы можем записать это условие следующим образом:

\[S = 3a^2\]

Шаг 4: Найдем четвертый элемент арифметической прогрессии.
Мы знаем, что сумма всех элементов равна утроенному квадрату этих элементов. Подставим эту информацию в формулу суммы арифметической прогрессии:

\[3a^2 = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\]

Теперь мы можем найти четвертый элемент арифметической прогрессии. Подставим значения \(n = 4\) (так как мы хотим найти четвертый элемент), и решим уравнение относительно \(a\):

\[3a^2 = \frac{4}{2}(2a + (4 - 1)d)\]

Упростим это уравнение:

\[3a^2 = 2(2a + 3d)\]

\[3a^2 = 4a + 6d\]

Выразим \(d\) через \(a\):

\[d = \frac{3a^2 - 4a}{6}\]

Теперь, зная разность между элементами арифметической прогрессии, мы можем найти четвертый элемент, подставив значения \(a\) и \(d\) в формулу:

\[a + 3d = a + 3\left(\frac{3a^2 - 4a}{6}\right)\]

\[a + 3d = \frac{3a^2 - 4a}{2}\]

Это будет четвертый элемент арифметической прогрессии.