Какой будет эскиз графика функции y = (x-1)4/3 и как определить ее область определения и множество значений?

Vitaliy

39

Для заданной функции \(y = (x-1)^{\frac{4}{3}}\) давайте сначала определим ее область определения. Область определения функции - это множество значений аргумента функции, при которых функция определена и имеет смысл.

В данном случае, чтобы функция была определена, выражение \((x-1)^{\frac{4}{3}}\) должно быть неотрицательным, так как нельзя извлекать корень из отрицательного числа. Следовательно, имеем условие:

\((x-1)^{\frac{4}{3}} \geq 0\)

Чтобы это условие выполнялось, нужно, чтобы выражение \((x-1)\) было неотрицательным. То есть:

\(x-1 \geq 0\)

Отсюда получаем:

\(x \geq 1\)

Таким образом, областью определения данной функции является множество всех значений \(x\), которые больше или равны 1.

Теперь рассмотрим график функции. Чтобы нарисовать эскиз, начнем с построения таблицы значений функции для разных \(x\):

\[
\begin{align*}
x & \quad y = (x-1)^{\frac{4}{3}} \\
\hline
1 & \quad 0 \\
2 & \quad 1 \\
3 & \quad 8 \\
4 & \quad 27 \\
\end{align*}
\]

Мы можем выбрать любые значения для \(x\) и вычислить соответствующие значения для \(y\). Затем построим график, отображая точки с координатами \((x, y)\) на координатной плоскости.

Вычисленные значения дают нам начальные точки для построения графика. Проведем гладкую кривую через эти точки, учитывая, что функция возведения в степень \(y = (x-1)^{\frac{4}{3}}\) имеет форму восходящей кубической функции.

\[
\begin{align*}
\begin{array}{c|c}
x & y = (x-1)^{\frac{4}{3}} \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 0 \\
2 & 1 \\
3 & 8 \\
4 & 27 \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Таким образом, график функции \(y = (x-1)^{\frac{4}{3}}\) будет выглядеть примерно так:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{}
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\
\\
\end{array}
\end{align*}
\]

На графике можно видеть, что функция проходит через точку (1, 0) и возрастает при увеличении значения \(x\). Высота графика функции увеличивается быстрее с ростом значения \(x\), что явно видно при сравнении точек (1, 0) и (4, 27).

Теперь рассмотрим множество значений функции. Множество значений - это множество всех возможных значений \(y\), которые могут быть получены для данной функции.

Так как основание \((x-1)\) функции возведено в положительную степень \(\frac{4}{3}\), то значение функции будет всегда неотрицательным. Следовательно, множество значений функции \(y = (x-1)^{\frac{4}{3}}\) будет:

\[
\{y\ |\ y \geq 0\}
\]

То есть, все неотрицательные значения являются возможными значениями функции.

Это и есть полный ответ с пошаговым решением и объяснением. Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне!