Каков средний выигрыш стрелка, который попадает в мишень с данным шансом, если в тире проводится розыгрыш денежных

Feya

5

Чтобы найти средний выигрыш стрелка, который попадает в мишень, мы должны учесть различные возможные исходы. Давайте посмотрим на каждый шаг решения по очереди.

Шаг 1: Определение вероятности попадания
У нас есть информация о том, что шанс попадания стрелка в мишень равен X/7, где X - количество попаданий из 7 выстрелов. Вероятность попадания равна количеству попаданий, деленному на общее количество выстрелов,
\[P(\text{попадание}) = \frac{X}{7}\]

Шаг 2: Определение суммы приза
Сумма приза определяется формулой 10X^2, где X - количество попаданий. Если стрелок попал X раз, то сумма его выигрыша составит 10X^2.

Шаг 3: Нахождение среднего выигрыша
Чтобы найти средний выигрыш стрелка, мы должны усреднить суммы призов по всем возможным исходам. Для этого умножаем сумму приза на вероятность попадания в мишень и складываем результаты для всех возможных значения X.

Средний выигрыш стрелка (m) вычисляется следующим образом:
\[m = \sum\limits_{X=0}^7 (10X^2) \cdot P(\text{попадание})\]
\[m = \sum\limits_{X=0}^7 (10X^2) \cdot \frac{X}{7}\]

Раскроем сумму:
\[m = \frac{1}{7} \left[ (10 \cdot 0^2 \cdot 0) + (10 \cdot 1^2 \cdot 1) + (10 \cdot 2^2 \cdot 2) + \ldots + (10 \cdot 7^2 \cdot 7) \right]\]

Теперь мы можем вычислить средний выигрыш, заменив значения X на числа от 0 до 7 и произведения на соответствующие результаты:
\[m = \frac{1}{7} \left[ (10 \cdot 0^2 \cdot 0) + (10 \cdot 1^2 \cdot 1) + (10 \cdot 2^2 \cdot 2) + (10 \cdot 3^2 \cdot 3) + (10 \cdot 4^2 \cdot 4) + (10 \cdot 5^2 \cdot 5) + (10 \cdot 6^2 \cdot 6) + (10 \cdot 7^2 \cdot 7) \right]\]

Теперь проведем вычисления:
\[m = \frac{1}{7} \left[ 0 + 10 + 40 + 90 + 160 + 250 + 360 + 490 \right]\]
\[m = \frac{1}{7} \cdot 1400\]
\[m = 200\]

Средний выигрыш стрелка составляет 200. Это значит, что стрелок ожидает выиграть в среднем 200 денежных единиц при каждом розыгрыше в тире.