Какой будет остаток, когда Ваня разделит задуманное им натуральное число на 12, если при делении на 4, 6 и 8 он получил

Тигресса

14

Для решения этой задачи, нам нужно найти натуральное число, которое даёт остатки 15 при делении на 4, 6 и 8. Затем мы разделим это число на 12 и найдём остаток.

Давайте обозначим неизвестное натуральное число, задуманное Ваней, как \(x\). Мы знаем, что остаток от деления \(x\) на 4 равен 3, остаток от деления на 6 равен 5, и остаток от деления на 8 равен 7. Сумма этих остатков равна 15.

Мы можем записать это в виде следующей системы уравнений:

\[x \equiv 3 \pmod{4}\]
\[x \equiv 5 \pmod{6}\]
\[x \equiv 7 \pmod{8}\]

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод Китайской Теоремы об Остатках.

Сначала найдём решение для первых двух уравнений: \(x \equiv 3 \pmod{4}\) и \(x \equiv 5 \pmod{6}\).

Для этого нам необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям.

Давайте посмотрим, какие числа удовлетворяют первому условию: \(x \equiv 3 \pmod{4}\). Это числа 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.

Из этих чисел нам нужно выбрать то, которое удовлетворяет также второму условию: \(x \equiv 5 \pmod{6}\). Таким числом будет 3.

Теперь у нас есть первое решение: \(x = 3\).

Далее, мы можем использовать найденное значение \(x\) и третье уравнение в системе для нахождения окончательного решения.

У нас имеется уравнение \(x \equiv 7 \pmod{8}\). Мы видим, что \(x = 3\) не удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, нам нужно добавить к \(x\) такое число, чтобы оно удовлетворяло уравнению. Мы знаем, что остаток от деления \(x\) на 8 равен 7, поэтому мы добавим 8 к \(x\). Это даст нам новое значение \(x = 3 + 8 = 11\).

Теперь мы нашли окончательное решение системы, которое равно \(x = 11\).

Чтобы найти остаток, получаемый при делении \(x\) на 12, мы делим \(x\) на 12 и находим остаток:

\[
x \equiv 11 \pmod{12}
\]

Из этого следует, что остаток, который получит Ваня при делении задуманного им числа на 12, будет равен 11.

Таким образом, ответ на задачу: остаток будет равен 11, когда Ваня разделит задуманное им натуральное число на 12.