Какой будет период колебания дисков, если они поворачиваются на малые углы в противоположных направлениях, закручивая

Морозный_Полет

30

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При повороте дисков на малые углы в противоположных направлениях и последующем отпускании, система будет совершать колебания вокруг равновесного положения.

Первым шагом мы должны определить кинетическую энергию и потенциальную энергию системы. Кинетическая энергия вычисляется как половина произведения момента инерции каждого диска на квадрат его угловой скорости:

\[ K = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 \]

где \( I_1 \) и \( I_2 \) - моменты инерции первого и второго дисков соответственно, а \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \) - угловые скорости первого и второго дисков.

Момент инерции диска можно выразить следующим образом:

\[ I = \frac{1}{2} mR^2 \]

где \( m \) - масса диска, а \( R \) - его радиус.

Теперь мы можем определить значения моментов инерции первого и второго дисков:

\[ I_1 = \frac{1}{2} m_1R_1^2 \]
\[ I_2 = \frac{1}{2} m_2R_2^2 \]

Затем, мы можем определить потенциальную энергию системы, которая связана с деформацией пружины.

\[ U = \frac{1}{2} D \theta^2 \]

где \( D \) - крутильная жесткость пружины, а \( \theta \) - угол поворота дисков.

Теперь мы можем записать закон сохранения механической энергии:

\[ K_1 + U_1 = K_2 + U_2 \]

где \( K_1 \) и \( K_2 \) - начальная и конечная кинетические энергии соответственно, а \( U_1 \) и \( U_2 \) - начальная и конечная потенциальные энергии соответственно.

Начальные условия: при повороте дисков на малые углы в противоположных направлениях, диски начинают поворачиваться в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми скоростями:

\[ \omega_1 = -\omega_2 = \omega \]

и начальные потенциальные энергии равны нулю:

\[ U_1 = 0 \]

Конечные условия: после отпускания дисков, они будут колебаться вокруг равновесного положения с максимальным углом поворота \( \theta_{max} \) и нулевой угловой скоростью:

\[ \theta_{max} = \pm \frac{\pi}{2} \]

\[ \omega_{max} = 0 \]

\[ U_2 = \frac{1}{2} D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \]

Теперь мы можем записать уравнение сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} I_1 \omega^2 - \frac{1}{2} D \theta_{max}^2 = -\frac{1}{2} I_2 \omega^2 + \frac{1}{2} D \theta_{max}^2 + \frac{1}{2} D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \]

После подстановки значений моментов инерции и угла максимального поворота, получим уравнение:

\[ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_1R_1^2\right) \omega^2 - \frac{1}{2} D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_2R_2^2\right) \omega^2 + \frac{1}{2} D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \]

Решая это уравнение относительно \( \omega^2 \), получим:

\[ \left(\frac{1}{2} m_1R_1^2 + \frac{1}{2} m_2R_2^2\right) \omega^2 = D \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \]

\[ \left(m_1R_1^2 + m_2R_2^2\right) \omega^2 = 4D \]

Теперь мы можем выразить угловую скорость колебаний:

\[ \omega = \sqrt{\frac{4D}{m_1R_1^2 + m_2R_2^2}} \]

И, наконец, чтобы найти период колебаний \( T \), мы можем использовать соотношение между угловой скоростью и периодом колебаний:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Подставляя значение угловой скорости, получим:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{4D}{m_1R_1^2 + m_2R_2^2}}} \]

Теперь, подставляя значения \( D \), \( m_1 \), \( R_1 \), \( m_2 \) и \( R_2 \), мы можем вычислить период колебаний \( T \):

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{4 \cdot 20 \cdot (0.2)^2}{0.07 \cdot (0.2)^2 + 0.07 \cdot (0.1)^2}}} \]

Выполняя вычисления, получаем окончательный ответ:

\[ T \approx 2.88 \, \text{сек} \]