Какой будет радиус кривизны траектории шайбы вблизи точки, где ее скорость минимальна, в лабораторной системе отсчета?

Svetlyachok_V_Lesu

53

Для решения этой задачи, давайте вспомним общую формулу радиуса кривизны для движения с постоянной скоростью и изменением направления движения. Формула радиуса кривизны, выраженная через скорости и ускорение, имеет вид:

\[ R = \frac{V^2}{\left|a_{\perp}\right|} \]

Где:
- \( R \) радиус кривизны траектории
- \( V \) скорость движения
- \( a_{\perp} \) ускорение, направленное перпендикулярно к направлению движения

Также нам понадобятся некоторые дополнительные соотношения.

В данной задаче ситуация следующая: шайба движется по широкой ленте транспортера с постоянной скоростью \( V_2 = 1.2 \, \text{м/с} \). Чтобы понять, как изменяется радиус кривизны траектории вблизи точки, где ее скорость минимальна, мы должны рассмотреть две составляющие ускорения шайбы: \( a_{\perp} \) и \( a_r \).

Первое ускорение \( a_{\perp} \) является результатом горизонтальной компоненты силы трения скольжения, которая осуществляется в направлении, перпендикулярном к скорости. Её значение можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[ a_{\perp} = \mu g \]

Где:
- \( \mu \) коэффициент трения скольжения (в данном случае равный 0.3)
- \( g \) ускорение свободного падения (равное 10 м/с²)

Теперь нам нужно вычислить величину ускорения \( a_r \), играющего роль центростремительного ускорения.

Для этого мы можем использовать формулу центростремительного ускорения:

\[ a_r = \frac{{V^2}}{{R}} \]

Здесь \( V \) - скорость шайбы, а \( R \) - радиус кривизны траектории.

Для того, чтобы выразить ускорение \( a_r \) через известные величины, нам необходимо найти скорость \( V \) из динамического уравнения в системе отсчета лаборатории.

Первым шагом найдем горизонтальную составляющую силы трения скольжения \( F_{\text{тр}} \). Сила трения скользящей шайбы можно рассчитать как произведение коэффициента трения и нормальной реакции, где нормальная реакция равна весу шайбы:

\[ F_{\text{тр}} = \mu m g \]

Здесь:
- \( m \) - масса шайбы

Далее нужно определить величину горизонтальной составляющей силы \( F_{\text{гор}} \):

\[ F_{\text{гор}} = m a_{\parallel} \]

Где:
- \( a_{\parallel} \) - ускорение, направленное вдоль направления движения

Мы можем найти \( a_{\parallel} \), используя второй закон Ньютона для горизонтальной оси:

\[ F_{\text{гор}} = m a_{\parallel} \]
\[ F_{\text{гор}} = m a_{\perp} \cos \alpha \]

Здесь:
- \( \alpha \) - угол, где \( \cos \alpha = 0.15 \)

Используя равенство \( a_{\parallel} = a_{\perp} \cos \alpha \), можно записать следующее:

\[ a_{\parallel} = a_{\perp} \cos \alpha \]

Теперь мы можем записать равенство для \( a_r \):

\[ a_r = \frac{{V^2}}{{R}} \]

В системе отсчета лаборатории \( a_r \) будет определяться как разность между ускорениями \( a_{\parallel} \) и \( a_{\perp} \). Заметим, что \( a_{\parallel} \) будет направлено против \( a_{\perp} \), так как шайба замедляется.

\[ a_r = a_{\parallel} - a_{\perp} \]

Теперь, зная \( a_r \), можно найти радиус кривизны \( R \) с использованием формулы радиуса кривизны:

\[ R = \frac{{V^2}}{{a_r}} \]

С учетом всех данных, подставим известные значения:

\[ R = \frac{{V_2^2}}{{a_{\parallel} - a_{\perp}}} \]

Таким образом, чтобы найти радиус кривизны траектории шайбы вблизи точки, где ее скорость минимальна, нам нужно вычислить значение \( a_{\perp} \), \( a_{\parallel} \), а затем подставить их в формулу для радиуса.