Какой член разложения бинома (2x^2-(a/2x^3))^10 не содержит?

Ледяная_Магия

36

Чтобы найти член разложения бинома \((2x^2-(a/2x^3))^10\), который не содержит определенного члена, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона:
\((a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + ... + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n\)

Здесь \(\binom{n}{r}\) обозначает биномиальный коэффициент, который можно вычислить с помощью формулы: \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\), где ! обозначает факториал.

В данной задаче у нас \((2x^2-(a/2x^3))^10\), где a - некоторое число.

Чтобы определить, какой член разложения не содержит переменную x, нам нужно найти значения r, при которых член разложения будет содержать только a.

Чтобы член разложения не содержал x, у нас должно быть сокращение x^2 и \(2x^3\). Рассмотрим степени x в каждом члене разложения:

- Первый член: \(\binom{10}{0} (2x^2)^{10} \left(\frac{-a}{2x^3}\right)^0 = (2x^2)^{10} \cdot (1) \cdot (1) = (2x^2)^{10}\) - содержит только степень x^2.
- Второй член: \(\binom{10}{1} (2x^2)^9 \left(\frac{-a}{2x^3}\right)^1\) - содержит степень x, так как во втором множителе есть \(\left(\frac{-a}{2x^3}\right)\).
- Третий член: \(\binom{10}{2} (2x^2)^8 \left(\frac{-a}{2x^3}\right)^2\) - содержит степень x^2.
- Четвертый член: \(\binom{10}{3} (2x^2)^7 \left(\frac{-a}{2x^3}\right)^3\) - содержит степень x.
- ...

И так далее для всех членов разложения.

Заметим, что степень x в каждом члене разложения понижается на 1, начиная со второго члена. То есть, для определения членов разложения без x, нам нужны только те члены, где степень x - четное число.

Следовательно, в данном разложении все члены, кроме второго, четные и содержат x.

Таким образом, в данном разложении бинома \((2x^2-(a/2x^3))^10\) только второй член не содержит переменную x.