Какой диапазон содержит корень уравнения (1/32)^0,5x+1=8?

Полина_9242

38

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте выразим данные уравнение в более простой форме:

\[\left(\frac{1}{32}\right)^{0.5x+1} = 8\]

Мы видим, что здесь есть степень с основанием \(\frac{1}{32}\). Чтобы упростить ее, нам нужно записать основание и экспоненту в виде обычной дроби. Для этого нам понадобится знание правила \((\frac{a}{b})^c = \frac{a^c}{b^c}\). Применим это к нашему уравнению:

\[\frac{1^{0.5x+1}}{32^{0.5x+1}} = 8\]

Теперь у нас есть:

\[\frac{1}{32^{0.5x+1}} = 8\]

Для того, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, возведем обе части уравнения в степень -1:

\[\left(\frac{1}{32^{0.5x+1}}\right)^{-1} = 8^{-1}\]

Это приведет нас к:

\[32^{0.5x+1} = \frac{1}{8}\]

Далее, представим 32 как 2 в степени 5, заменив вторую часть уравнения:

\[(2^5)^{0.5x+1} = \frac{1}{8}\]

Применим свойство степени, умножая экспоненты:

\[2^{5(0.5x+1)} = \frac{1}{8}\]

Перепишем \(\frac{1}{8}\) как \(2^{-3}\):

\[2^{5(0.5x+1)} = 2^{-3}\]

Теперь, чтобы сравнить экспоненты с одинаковыми основаниями, приравняем 5(0.5x+1) к -3:

\[5(0.5x+1) = -3\]

Распределение получившегося уравнения дает:

\[2.5x + 5 = -3\]

Теперь, чтобы найти значение \(x\), нужно избавиться от 5, вычитая его из обеих сторон уравнения:

\[2.5x = -3 - 5\]

\[\Rightarrow 2.5x = -8\]

Наконец, чтобы найти \(x\), мы разделим обе стороны на 2.5:

\[x = \frac{-8}{2.5}\]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[x = -3.2\]

Итак, корень уравнения \((\frac{1}{32})^{0.5x+1} = 8\) находится в диапазоне содержания \(x = -3.2\).