Какой должен быть масса груза, помещенного внутрь полой металлической сферы массой m и радиусом r, чтобы

Angelina_1646

1

Чтобы найти массу груза, необходимую для того, чтобы полая металлическая сфера погружалась под действием сопротивления жидкости с такой же скоростью, мы можем использовать закон Архимеда и второй закон Ньютона. Давайте начнем с формулировки закона Архимеда.

Закон Архимеда гласит, что плавающее или погруженное в жидкость тело испытывает силу, равную весу вытесненной им жидкости. В нашем случае сила Архимеда будет равна весу груза.

Вес груза можно выразить как произведение массы груза на ускорение свободного падения (g). Таким образом, вес груза равен mg.

Сила сопротивления жидкости, действующая на сферу, будет пропорциональна скорости сферы относительно жидкости и обратно пропорциональна радиусу сферы. Мы можем представить эту силу сопротивления как F = kv, где k - коэффициент сопротивления, v - скорость сферы относительно жидкости.

Таким образом, у нас имеется две равные по величине силы: сила Архимеда (mg) и сила сопротивления (kv).

Теперь мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для движения сферы вверх:
mg - kv = 0

Решая это уравнение относительно массы груза (m), получим:
m = kv / g

Теперь давайте выразим скорость (v) через радиус (r). Мы знаем, что объем сферы равен \(v = \frac{4}{3}\pi r^3\). Если положить, что скорость сферы относительно жидкости равна \(v = \frac{dx}{dt}\), где \(x\) - расстояние, пройденное сферой, а \(t\) - время, то \(dx = v \cdot dt\). Таким образом, мы можем переписать \(\frac{dx}{dt}\) как \(\frac{dr}{dt}\), где \(r\) - радиус сферы.

Теперь мы можем записать \(v\) как \(\frac{dr}{dt}\). Вставляя это значение в уравнение m = kv / g, получим:
m = k \cdot \frac{\frac{dr}{dt}}{g}

Теперь давайте выразим \(\frac{dr}{dt}\) через \(r\). Если сфера движется с постоянной скоростью, это означает, что радиус меняется со временем с постоянной скоростью, и мы можем записать это как \(\frac{dr}{dt} = v_r\), где \(v_r\) - скорость изменения радиуса.

Подставляя это значение в уравнение m = k \cdot \frac{\frac{dr}{dt}}{g}, получим:
m = k \cdot \frac{v_r}{g}

Теперь нам нужно выразить \(v_r\) через \(r\). Если принять, что сфера движется с постоянной скоростью, значит, ускорение сферы равно нулю. В этом случае мы можем записать второй закон Ньютона для радиуса сферы как:
F = ma = 0

Сила Архимеда равна силе сопротивления:
mg - kv = 0

Решая это уравнение относительно \(v\), получим:
v = \frac{mg}{k}

Теперь мы можем выразить \(v_r\) через \(r\):
v_r = \frac{dr}{dt} = \frac{v}{r} = \frac{\frac{mg}{k}}{r} = \frac{mg}{kr}

Подставляя это значение в уравнение m = k \cdot \frac{v_r}{g}, получим:
m = k \cdot \frac{\frac{mg}{kr}}{g}

Выполняя сокращения, получим:
m = \frac{m}{r}

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти массу груза (m). Для этого обе части уравнения поделим на m:
1 = \frac{1}{r}

Обратная величина радиуса сферы (r) равна массе груза (m). Таким образом, чтобы сфера погружалась под действием сопротивления жидкости с такой же скоростью, что и скорость плавления, масса груза должна быть равна обратной величине радиуса сферы (m = \frac{1}{r}).

В заключение, масса груза, помещенного внутрь полой металлической сферы, чтобы она погружалась под действием сопротивления жидкости с такой же скоростью, равна обратной величине радиуса сферы (m = \frac{1}{r}).