Какой должен быть минимальный диаметр тонкой оболочки воздушного шара, чтобы он мог поднять конструкцию и пассажиров

Yascherica_3710

26

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон Архимеда и закон Гей-Люссака.

Сначала мы установим формулу для силы Архимеда, которая действует на шар. Сила Архимеда равна весу вытесняемой воздухом жидкости (или газа) и определяется следующей формулой:

\[F_A = \rho_{возд} \cdot V \cdot g\]

где \(F_A\) - сила Архимеда, \(\rho_{возд}\) - плотность воздуха, \(V\) - объем вытесненного воздуха, \(g\) - ускорение свободного падения.

Затем мы применим закон Гей-Люссака, который гласит, что для идеального газа отношение объема к молекулярному количеству газа остается постоянным при постоянной температуре и давлении:

\[\frac{V}{n} = \frac{V_0}{n_0}\]

где \(V\) - объем газа, \(n\) - количество молекул газа, \(V_0\) - начальный объем газа, \(n_0\) - начальное количество молекул газа.

Мы знаем, что масса газа \(m_в\) равна 29 г/моль, поэтому можем найти количество молекул газа с помощью формулы:

\[n_0 = \frac{m_в}{\mu}\]

где \(m_в\) - масса газа, \(\mu\) - молярная масса газа.

Теперь мы можем взять начальный объем газа \(V_0\) и преобразовать его с использованием уравнения состояния идеального газа. Уравнение состояния идеального газа имеет вид:

\[pV = nRT\]

где \(p\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество молекул газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура газа.

Мы можем найти начальный объем газа \(V_0\) следующим образом:

\[V_0 = \frac{n_0RT_0}{p}\]

где \(T_0\) - начальная температура газа.

Теперь мы можем выразить начальный объем газа \(V_0\) через минимальный диаметр оболочки \(D\) шара. Объем шара можно выразить следующей формулой:

\[V_0 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3\]

Таким образом, мы получим уравнение:

\[\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{n_0RT_0}{p}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно минимального диаметра оболочки \(D\). Для этого сначала найдем число молекул газа \(n_0\):

\[n_0 = \frac{m_в}{\mu} = \frac{29}{\mu}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\frac{29}{\mu}RT_0}{p}\]

Теперь можно выразить минимальный диаметр оболочки \(D\):

\[D = \left(\frac{3p\mu RT_0}{4\pi \cdot 29}\right)^{1/3}\]

Итак, минимальный диаметр оболочки воздушного шара должен быть равен вычисленному значению \(D\) для того, чтобы он мог поднять конструкцию и пассажиров массой \(m = 500\) кг при заданных условиях.