Какой должен быть минимальный радиус непрозрачного диска, плавающего на поверхности воды над точечным источником света

Андрей

41

Для решения этой задачи воспользуемся законом преломления света и условием полного внутреннего отражения.

Закон преломления света (закон Снеллиуса) гласит, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления двух сред: \(\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\), где \(\theta_1\) - угол падения, \(\theta_2\) - угол преломления, \(n_1\) - показатель преломления первой среды, \(n_2\) - показатель преломления второй среды.

Условие полного внутреннего отражения гласит, что свет не покидает среду при падении, если угол падения превышает предельный угол, определяемый формулой \(\sin(\theta) = \frac{{n_2}}{{n_1}}\) (при условии, что показатель преломления первой среды \(n_1\) больше показателя преломления второй среды \(n_2\)).

В данной задаче имеется поверхность воды, которая разделяет воздух (показатель преломления приближенно равен 1) и воду (показатель преломления \(n = 1,33\)). Мы ищем минимальный радиус непрозрачного диска над точечным источником света на глубине 3 м, чтобы свет не выходил из воды.

Пусть \(r\) - искомый радиус диска. Тогда можно провести луч света, который перпендикулярен поверхности воды в точке соприкосновения с диском. Так как диск непрозрачный, свет не будет проходить сквозь него, а будет отражаться от его границы.

Из треугольника ABC на рисунке может быть получено следующее условие: \(\sin(\theta) = \frac{{h}}{{r}}\), где \(h\) - глубина воды, равная 3 м.

\[
\begin{align*}
\sin(\theta) &= \frac{{n_2}}{{n_1}} \\
\frac{{h}}{{r}} &= \frac{{n_2}}{{n_1}}
\end{align*}
\]

Подставим значения данных величин в последнее уравнение:

\[
\begin{align*}
\frac{{3}}{{r}} &= \frac{{1,33}}{{1}}
\end{align*}
\]

Решим это уравнение относительно радиуса \(r\):

\[
\begin{align*}
3 &= 1,33r \\
r &= \frac{{3}}{{1,33}} \approx 2,26
\end{align*}
\]

Таким образом, минимальный радиус непрозрачного диска должен быть примерно 2,26 м, чтобы свет не выходил из воды.