Какой индекс у члена геометрической прогрессии, равного 0,0000009, если последовательность начинается с 90;90;0.9?

Акула

63

Чтобы найти индекс \(n\) члена геометрической прогрессии, нужно знать первый член прогрессии \(a_1\), знаменатель \(q\) и само значение этого члена \(a_n\). В данной задаче первый член прогрессии \(a_1\) равен 90, знаменатель \(q\) равен 0.1 (так как каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего в 10 раз), и мы хотим найти индекс \(n\) для значения члена, равного 0.0000009.

Для начала, сравним значение 0.0000009 с первым членом прогрессии 90. Очевидно, что они очень различаются. Давайте посмотрим на другие значения прогрессии: 90, 90 × 0.1 = 9, 9 × 0.1 = 0.9. Заметим, что значения прогрессии существенно уменьшаются при каждом шаге. Так что, чтобы значение 0.0000009 появилось в прогрессии, нам нужно сделать еще несколько шагов.

Чтобы найти индекс \(n\), мы можем использовать формулу: \(a_n = a_1 \times q^{(n-1)}\). Расставив значения из задачи в эту формулу, получим:

\(0.0000009 = 90 \times 0.1^{(n-1)}\).

Для дальнейшего решения, давайте избавимся от десятичной части числа и перепишем уравнение в виде:

\(\frac{0.0000009}{90} = 0.1^{(n-1)}\).

Мы можем теперь использовать свойства степеней для обеих сторон уравнения. Возьмем логарифм по основанию 0.1 от обеих частей уравнения:

\(\log_{0.1}\left(\frac{0.0000009}{90}\right) = \log_{0.1}\left(0.1^{(n-1)}\right)\).

Согласно свойствам логарифмов и степеней, получим:

\(\log_{0.1}(0.00000001) = n-1\).

Подсчитывая значения логарифма, получаем:

\(-8 = n-1\).

Чтобы найти значение \(n\), прибавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\(n = -8 + 1\).

Вычисляем:

\(n = -7\).

Таким образом, индекс \(n\) для члена геометрической прогрессии, равного 0.0000009, если последовательность начинается с 90;90;0.9, равен -7.