Какова площадь сегмента А1A2A3 правильного шестиугольника, если радиус его описанной окружности равен

Milana_7168

48

Пусть \( r \) - радиус описанной окружности правильного шестиугольника А1А2А3.

Чтобы найти площадь сегмента А1А2А3, нам нужно разделить данный сегмент на более простые фигуры и вычислить площади этих фигур по отдельности.

Поскольку сегмент А1А2А3 - это часть правильного шестиугольника, разобьем его на треугольник и сектор окружности.

Первым шагом найдем площадь треугольника А1А2А3. Так как он является равносторонним, все его стороны равны. Пусть длина каждой стороны равна \( a \). Зная, что радиус описанной окружности равен \( r \), можно найти длину стороны треугольника с помощью формулы:

\[ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} \]

Теперь, когда мы знаем длину стороны треугольника, можем найти его площадь. Для равностороннего треугольника площадь можно найти с помощью следующей формулы:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

Подставляя значение \( a \), получаем:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \frac{2r}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times r^2 \]

Теперь найдем площадь сектора окружности с радиусом \( r \) и углом \( \frac{2\pi}{3} \). Площадь сектора можно найти по формуле:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 \]

Подставляя значения, получаем:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \]

Теперь остается только сложить площади треугольника и сектора, чтобы получить искомую площадь сегмента А1А2А3:

\[ S_{\text{сегмента}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{сектора}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times r^2 + \frac{1}{3} \times \pi r^2 \]

Таким образом, площадь сегмента А1А2А3 правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности \( r \) равна \(\frac{3\sqrt{3}}{4} \times r^2 + \frac{1}{3} \times \pi r^2\).