Какой интервал содержит корень уравнения arcctg (2-п/4)=п/6? 1) 0,5 1,0 2) 1,0 1,2 3) 1,3 1,5 4) 1,5 1,7 5

Morzh_1721

68

Для решения данной задачи, нам нужно найти интервал, в котором содержится корень уравнения \( \text{arcctg} \left(2 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{6} \).

Давайте начнем с решения самого уравнения:

\[
\text{arcctg} \left(2 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{6}
\]

Для начала, заметим, что \( \text{arcctg} \) является обратной функцией к тангенсу:

\[
\text{arcctg}(x) = \arctan \left(\frac{1}{x} \right)
\]

Применяя эту формулу, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[
\arctan \left(\frac{1}{2-\frac{\pi}{4}}\right) = \frac{\pi}{6}
\]

Теперь, чтобы решить это уравнение, возьмем тангенс от обеих сторон:

\[
\tan \left(\arctan \left(\frac{1}{2-\frac{\pi}{4}}\right)\right) = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)
\]

Функции тангенс и арктангенс являются взаимообратными, поэтому они сокращаются:

\[
\frac{1}{2-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2 - \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{\pi}{4} = 2 - \sqrt{3}
\]

Теперь оставим только выражение с переменной на одной стороне уравнения:

\[
\frac{\pi}{4} + \sqrt{3} = 2
\]

Далее, чтобы найти корень, приведем его к каноническому виду:

\[
\sqrt{3} = 2 - \frac{\pi}{4}
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
3 = 4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} + \left(\frac{\pi}{4}\right)^2
\]

Упрощаем:

\[
3 = 4 - \pi + \frac{\pi^2}{16}
\]

Теперь давайте приведем уравнение к квадратному виду:

\[
\pi^2 - 16\pi + 48 = 0
\]

Введем новую переменную \( t = \pi \):

\[
t^2 - 16t + 48 = 0
\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартную формулу для нахождения корней. Корни этого уравнения будут:

\[
t_1 = \frac{16 + \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2} = 8 + \sqrt{16 - 48} = 8 + \sqrt{-32}
\]
\[
t_2 = \frac{16 - \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2} = 8 - \sqrt{16 - 48} = 8 - \sqrt{-32}
\]

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденное значение \( t \):

\[
\pi_1 = 8 + \sqrt{-32} \quad \text{или} \quad \pi_2 = 8 - \sqrt{-32}
\]

Так как значение \( \pi \) будет вещественным числом, а не комплексным, мы видим, что корень уравнения не существует в действительном числовом промежутке.

Таким образом, ответ на задачу можно представить следующим образом:

Корень уравнения \( \text{arcctg} (2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{6} \) отсутствует в рассматриваемых вариантах ответа.

Ответ: нет корня