Какой из катетов прямоугольного треугольника с площадью 80 имеет меньшую длину, если тангенс одного из углов равен 0,4?

Сладкая_Леди

34

Для начала, давайте вспомним основные понятия, связанные с прямоугольными треугольниками. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов является прямым (90 градусов). У него также есть два катета и гипотенуза.

В данной задаче, у нас есть прямоугольный треугольник с площадью 80 и углом, у которого тангенс равен 0,4. Мы должны найти длину одного из катетов.

Давайте обозначим катеты буквами a и b, где a - это катет с меньшей длиной, а b - с большей длиной.

Первым шагом будем использовать формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Подставив известные значения, получаем:

\[80 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Теперь давайте воспользуемся информацией о тангенсе угла. Тангенс угла - это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

В данной задаче тангенс одного из углов равен 0,4. Давайте обозначим этот угол буквой θ. Тогда тангенс угла θ можно записать следующим образом:

\[тангенс(\theta) = \frac{{длина\ противолежащего\ катета}}{{длина\ прилежащего\ катета}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[0,4 = \frac{a}{b}\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 80 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ 0,4 = \frac{a}{b} \end{cases}\]

С помощью этих уравнений мы можем найти значения катетов a и b. Давайте решим эту систему уравнений.

Для начала, умножим второе уравнение на b, чтобы избавиться от дроби:

\[0,4 \cdot b = a\]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\[80 = \frac{1}{2} \cdot (0,4 \cdot b) \cdot b\]

Упростим это уравнение:

\[80 = 0,2 \cdot b^2\]

Теперь, чтобы выразить b, разделим обе стороны уравнения на 0,2:

\[400 = b^2\]

Возведя обе стороны уравнения в квадратный корень, получаем:

\[b = \sqrt{400}\]

b = 20

Теперь мы знаем длину катета b, пойдем обратно к нашей второй формуле для тангенса и найдем длину катета a.

\[0,4 = \frac{a}{20}\]

Умножим обе стороны уравнения на 20:

\[8 = a\]

Итак, получаем, что длина катета a равна 8, а длина катета b равна 20.

Ответ: Катет с меньшей длиной в прямоугольном треугольнике с площадью 80 и тангенсом одного из углов, равным 0,4, имеет длину 8.