Какой максимальный объем имеет правильная шестиугольная призма, вписанная в полушар радиусом R=7 таким образом

Вечный_Путь

58

Для решения задачи мы можем разделить ее на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем уравнение сферы, описывающей полушар и определим координаты вершин призмы.

Полушара имеет радиус R=7, поэтому его уравнение выглядит следующим образом:
\[x^2 + y^2 + z^2 = R^2\]

Основание призмы лежит на плоскости \(z = 0\), поэтому координаты вершин призмы можно записать в виде:
\[(x, y, 0)\]
где \(x\) и \(y\) - координаты точки на основании призмы.

Таким образом, задача сводится к нахождению \(x\) и \(y\) таких, что выполняется уравнение сферы.

Шаг 2: Определение координат вершин призмы.

Воспользуемся уравнением сферы:
\[x^2 + y^2 + z^2 = R^2\]
Подставим \(z = 0\):
\[x^2 + y^2 = R^2\]

Таким образом, координаты вершин призмы могут быть найдены как решения данного уравнения.

Шаг 3: Вычисление объема призмы.

Правильная шестиугольная призма образована двумя правильными шестиугольниками, которые являются основаниями, и шестью прямоугольными треугольниками, которые являются боковыми гранями призмы.

Длина стороны шестиугольника равна радиусу полушара \(R=7\).

Площадь основания шестиугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2\]

Высота шестиугольника:
\[h = R\]

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы:
\[S_{\text{бок}} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot R \cdot h = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = 3R^2\]

Теперь можем найти объем призмы:
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2 \cdot R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 7^2 \cdot 7 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 7^3\]

Шаг 4: Вычисление максимального объема призмы.

Чтобы найти максимальный объем призмы, возьмем производную объема \(V\) по \(R\) и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dV}{dR} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 \cdot 7^2 = 0\]
\[63\sqrt{3} = 0\]

Так как производная не равна нулю, то максимум объема отсутствует.

Итак, максимальный объем правильной шестиугольной призмы, вписанной в полушар радиусом \(R=7\), не существует, так как объем бесконечно возрастает при увеличении радиуса шестиугольника.