Какие значения переменной x удовлетворяют уравнению [tex]log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2[/tex]?

Galina

69

Конечно! Давайте решим данное уравнение пошагово:

1. Начнем с того, что перепишем уравнение:

\[\log_{\sin x}(\cos 2x - \sin x + 1) = 2\]

2. Для упрощения обозначений заменим \(\sin x\) на \(a\), чтобы получить:

\[\log_a(\cos 2x - a + 1) = 2\]

3. Теперь применим свойство логарифма, которое гласит, что \(\log_a b = c\) эквивалентно \(a^c = b\). Применим это свойство к нашему уравнению:

\[\cos 2x - a + 1 = a^2\]

4. Перенесем все члены уравнения влево и получим квадратное уравнение:

\[a^2 - a + \cos 2x - 1 = 0\]

5. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(a\). Решение квадратного уравнения не всегда просто, поэтому давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни уравнения.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) можно вычислить по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

6. В нашем случае \(a^2 - a + \cos 2x - 1 = 0\), поэтому \(a^2 - a + (\cos 2x - 1) = 0\). Сравним это с общей формулой квадратного уравнения и найдем \(a\), \(b\) и \(c\):

\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = \cos 2x - 1\)

7. Теперь найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4(1)(\cos 2x - 1) = 1 - 4(\cos 2x - 1) = 5 - 4\cos 2x\]

8. В зависимости от значения дискриминанта \(D\) у уравнения могут быть различные типы решений:

- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных рациональных корня.
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет один рациональный корень.
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет рациональных корней.

9. Теперь рассмотрим каждый случай:

- Если \(D > 0\), то у нас есть два различных рациональных корня для \(a\). Решим уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:

\[a_1 = \frac{1 + \sqrt{5 - 4\cos 2x}}{2}\]
\[a_2 = \frac{1 - \sqrt{5 - 4\cos 2x}}{2}\]

Поскольку мы заменили \(\sin x\) на \(a\), нам нужно получить значения \(x\):

Для \(a_1\):
\[\sin x_1 = a_1\]
\[x_1 = \arcsin(a_1)\]

Для \(a_2\):
\[\sin x_2 = a_2\]
\[x_2 = \arcsin(a_2)\]

- Если \(D = 0\), то у нас есть один рациональный корень для \(a\). Воспользуемся формулой корня квадратного уравнения так же, как в предыдущем случае:

\[a = \frac{-b}{2a}\]

В нашем случае:

\[a_0 = \frac{1}{2}\]

Следовательно:

\[\sin x_0 = a_0\]
\[x_0 = \arcsin(a_0)\]

- Если \(D < 0\), то у нас нет рациональных корней уравнения, то есть нет решений для \(x\).

Таким образом, решение уравнения \(log_{\sin x}(\cos 2x - \sin x + 1) = 2\) достигается при определенных значениях \(x\), которые можно получить, используя корни квадратного уравнения. Но чтобы найти эти значения \(x\), необходимо знать конкретное значение для \(\cos 2x\). Если у вас есть это значение, я могу помочь вам далее.